Suponha f integrável em [a, t] para todo t \geq a. Prove que
\int_{0}^{\infty}|f(x)| d x \text { é convergente } \Rightarrow \int_{0}^{\infty} f(x) d x \text { é convergente. }éé

Passo 1

Resumindo, temos uma função f integrável em [0,t] para todo t\ge0 (isto é, o integral impróprio \int_{0}^{\infty}f(x)\,dx faz sentido como limite de integrais de 0 a t). O que precisamos provar é que, se
\int_{0}^{\infty}\lvert f(x)\rvert\,dx
converge (isto é, é finito), então
\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx
também converge. O conteúdo da matéria é o critério de Cauchy para convergência de integrais impróprias e a desigualdade triangular para integrais.

Passo 2

Como
\int_{0}^{\infty}\lvert f(x)\rvert\,dx
converge, pelos critérios de convergência de integrais impróprias, para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que, para quaisquer R,S\ge M,
\int_{R}^{S}\lvert f(x)\rvert\,dx<\varepsilon.
Isto é a forma Cauchy da convergência: os “restos” da integral de \lvert f\rvert tornam-se arbitrariamente pequenos.

Passo 3

Agora considere a diferença entre duas integrais parciais de f: para R,S\ge M, pela desigualdade triangular para integrais,
\Bigl\lvert \int_{R}^{S}f(x)\,dx\Bigr\rvert \le \int_{R}^{S}\lvert f(x)\rvert\,dx < \varepsilon.
Isso mostra que a família de integrais \displaystyle \Bigl\{\int_{0}^{t}f(x)\,dx\Bigr\}_{t\ge0}
é uma sequência de Cauchy em \mathbb{R}.

Passo 4

Como todo Cauchy em \mathbb{R} converge, segue que \displaystyle \int_{0}^{t}f(x)\,dx tem limite finito quando t\to\infty. Por definição, isso significa que
\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx
converge.

Resposta

Portanto, \displaystyle \int_{0}^{\infty}f(x)\,dx é convergente.

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