Considere uma região do espaço preenchida por um material linear, homogêneo e isotrópico, com permissividade elétrica
e permeabilidade magnética
. Suponha que nessa região exista uma densidade de carga elétrica
e uma densidade de corrente J(r,t).
A)Escreva as equações de Maxwell no formato diferencial para essa região, explicitando como cada equação se relaciona com as grandezas elétricas e magnéticas.
B)Partindo das equações de Maxwell, derive a equação da continuidade da carga elétrica e explique o significado físico dessa equação.
C)Considere que as densidades de carga e corrente sejam nulas (
). Mostre que, nesse caso, os campos elétrico E e magnético B satisfazem equações de onda e determine a velocidade de propagação dessas ondas no meio.
D)Discuta qualitativamente como a presença de um material com
e
diferentes de
e
afeta a propagação das ondas eletromagnéticas.
A)Escreva as equações de Maxwell no formato diferencial para essa região, explicitando como cada equação se relaciona com as grandezas elétricas e magnéticas.
B)Partindo das equações de Maxwell, derive a equação da continuidade da carga elétrica e explique o significado físico dessa equação.
C)Considere que as densidades de carga e corrente sejam nulas (
D)Discuta qualitativamente como a presença de um material com
Passo 1
O enunciado trata de uma região homogênea, isotrópica e linear, com permissividade
e permeabilidade
, na qual existem densidades de carga
e de corrente
.
Conteúdo: equações de Maxwell em forma diferencial, conservação de carga e ondas eletromagnéticas em meios materiais.
Conteúdo: equações de Maxwell em forma diferencial, conservação de carga e ondas eletromagnéticas em meios materiais.
Passo 2
As quatro equações de Maxwell no meio são:
onde
liga o campo elétrico
à densidade de carga;
que expressa a ausência de monopólos magnéticos;
a lei de Faraday, relacionando campo elétrico variável a campo magnético induzido;
onde
e o termo
é a corrente de deslocamento que complementa a densidade de corrente livre
.
Passo 3
Para obter a equação de continuidade, tomamos a divergência em
.
Como , vem
Como
Mas
, logo
Significado físico: expressa conservação local de carga, ou seja, qualquer variação de carga num volume se deve ao fluxo de corrente através de sua superfície.
Passo 4
No caso livre de cargas e correntes
,
temos
. Aplicando
em
e usando
junto com
, segue
Usando a identidade vetorial
(observando
), obtemos
Analogamente para
. Isto mostra que
e
satisfazem equações de onda com velocidade
Passo 5
Quando
e
diferem de
e
, a velocidade cai para
. Daí surge índice de refração
.
Além disso, a impedância característica do meio muda, afetando reflexões e transmissões em interfaces, e, se ou
forem complexos, aparece atenuação (absorção) das ondas.
Além disso, a impedância característica do meio muda, afetando reflexões e transmissões em interfaces, e, se
Resposta
A)
B)
conservação local de carga.
C)
D) Velocidade reduzida
, índice
, mudança de impedância e possível atenuação em meios absorventes.