Considere uma região do espaço preenchida por um material linear, homogêneo e isotrópico, com permissividade elétrica \varepsilon e permeabilidade magnética \mu. Suponha que nessa região exista uma densidade de carga elétrica \rho(r, t) e uma densidade de corrente J(r,t).
A)Escreva as equações de Maxwell no formato diferencial para essa região, explicitando como cada equação se relaciona com as grandezas elétricas e magnéticas.
B)Partindo das equações de Maxwell, derive a equação da continuidade da carga elétrica e explique o significado físico dessa equação.
C)Considere que as densidades de carga e corrente sejam nulas ( \rho=0, \mathrm{~J}=0 ). Mostre que, nesse caso, os campos elétrico E e magnético B satisfazem equações de onda e determine a velocidade de propagação dessas ondas no meio.
D)Discuta qualitativamente como a presença de um material com \varepsilon e \mu diferentes de \varepsilon_{0} e \mu_{0} afeta a propagação das ondas eletromagnéticas.

Passo 1

O enunciado trata de uma região homogênea, isotrópica e linear, com permissividade \varepsilon e permeabilidade \mu, na qual existem densidades de carga \rho(\mathbf r,t) e de corrente \mathbf J(\mathbf r,t).
Conteúdo: equações de Maxwell em forma diferencial, conservação de carga e ondas eletromagnéticas em meios materiais.

Passo 2

As quatro equações de Maxwell no meio são:
\nabla \cdot \mathbf D = \rho,
onde \mathbf D = \varepsilon\,\mathbf E liga o campo elétrico \mathbf E à densidade de carga;
\nabla \cdot \mathbf B = 0,
que expressa a ausência de monopólos magnéticos;
\nabla \times \mathbf E = -\,\frac{\partial \mathbf B}{\partial t},
a lei de Faraday, relacionando campo elétrico variável a campo magnético induzido;
\nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t},
onde \mathbf H = \frac{1}{\mu}\,\mathbf B e o termo \partial \mathbf D/\partial t é a corrente de deslocamento que complementa a densidade de corrente livre \mathbf J.

Passo 3

Para obter a equação de continuidade, tomamos a divergência em \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \partial \mathbf D/\partial t.
Como \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf H)=0, vem
0 = \nabla\cdot\mathbf J + \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\cdot\mathbf D\bigr).
Mas \nabla\cdot\mathbf D=\rho, logo
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf J = 0.
Significado físico: expressa conservação local de carga, ou seja, qualquer variação de carga num volume se deve ao fluxo de corrente através de sua superfície.

Passo 4

No caso livre de cargas e correntes \rho=0, \mathbf J=0 temos \nabla\cdot\mathbf D=0\Rightarrow\nabla\cdot\mathbf E=0. Aplicando \nabla\times em \nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t e usando \mathbf B=\mu\mathbf H junto com \nabla\times\mathbf H=\partial\mathbf D/\partial t=\varepsilon\,\partial\mathbf E/\partial t, segue
\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\,\mu\varepsilon\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.
Usando a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E =-\nabla^2\mathbf E
(observando \nabla\cdot\mathbf E=0), obtemos
\nabla^2\mathbf E =\mu\,\varepsilon\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.
Analogamente para \mathbf B. Isto mostra que \mathbf E e \mathbf B satisfazem equações de onda com velocidade
v = \frac{1}{\sqrt{\mu\,\varepsilon}}.

Passo 5

Quando \varepsilon e \mu diferem de \varepsilon_0 e \mu_0, a velocidade cai para v=1/\sqrt{\mu\varepsilon}<c. Daí surge índice de refração \displaystyle n=\frac{c}{v}=\sqrt{\frac{\varepsilon\,\mu}{\varepsilon_0\,\mu_0}}.
Além disso, a impedância característica do meio muda, afetando reflexões e transmissões em interfaces, e, se \varepsilon ou \mu forem complexos, aparece atenuação (absorção) das ondas.

Resposta

A)
\nabla \cdot (\varepsilon\,\mathbf E)=\rho,\quad \nabla \cdot \mathbf B=0,\quad \nabla \times \mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\quad \nabla \times \Bigl(\frac{\mathbf B}{\mu}\Bigr)=\mathbf J+\frac{\partial(\varepsilon\,\mathbf E)}{\partial t}.
B)
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0,
conservação local de carga.
C)
\nabla^2\mathbf E=\mu\varepsilon\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},\quad \nabla^2\mathbf B=\mu\varepsilon\,\frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2},\quad v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.
D) Velocidade reduzida v< c, índice n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}, mudança de impedância e possível atenuação em meios absorventes.

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