Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
Resolva a EDO’ pelo método de Ricatti:
\frac{d y}{d x}=-\operatorname{cosec}^{2}(x)-y \operatorname{cotg}(x)+y^{2} ; y_{1}=\operatorname{cotg}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
\frac{dy}{dx} = -\csc^{2}(x)\;-\;y\,\cot(x)\;+\;y^{2}
e informa uma solução particular \,y_{1}=\cot(x). Nosso objetivo é usar a transformação padrão para Riccati e reduzir a EDO a uma linear de primeira ordem.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral
y' = q_{0}(x) + q_{1}(x)\,y + q_{2}(x)\,y^{2}
aqui q_{0}=-\csc^{2}x, q_{1}=-\cot x, q_{2}=1. Com a solução particular y_{1}=\cot x, fazemos a substituição
y = y_{1} + \frac{1}{v}
para obter uma equação linear em v.

Passo 3

Derivando y e igualando à forma original leva a
v' + \bigl(q_{1} + 2\,q_{2}\,y_{1}\bigr)\,v = -\,q_{2}.
Substituindo q_{1}=-\cot x, q_{2}=1 e y_{1}=\cot x obtemos
v' + \cot(x)\,v = -1.

Passo 4

Resolvemos a linear
v' + \cot(x)\,v = -1
com fator integrante \mu(x)=\exp\!\bigl(\int\cot x\,dx\bigr)=\sin x. Multiplicando por \sin x vem
\bigl(\sin x\,v\bigr)' = -\sin x
e, integrando,
\sin x\,v = \cos x + C \quad\Longrightarrow\quad v = \cot x + C\,\csc x.

Passo 5

Voltando a y=y_{1}+1/v temos
y = \cot x + \frac{1}{\cot x + C\,\csc x} = \cot x + \frac{\sin x}{\cos x + C}
que, em forma única, pode ser escrito como
y(x) = \frac{1 + C\cos x}{\sin x\;(\cos x + C)}.
Esta é a solução geral, e está dada de forma explícita.

Resposta

y(x) = \cot x + \frac{\sin x}{\cos x + C},
solução explícita.

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