Esboce os gráficos das seguintes funções:
y=1-|\operatorname{sen}(x)|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = 1 - \bigl|\sin(x)\bigr|.
O conteúdo aqui é transformação de funções trigonométricas com valor absoluto e periodicidade. Para desenhar o gráfico, vamos usar: domínio, período, paridade, expressão em pedaços e pontos marcantes de um período.

Passo 2

Determinar domínio, período e paridade:
– O domínio de y é todo \mathbb{R}, pois \sin(x) está definido para todo x.
– A função \sin(x) tem período 2\pi, e o valor absoluto não altera o período, logo y também é periódica de período 2\pi.
– Como \sin(x) é ímpar e o valor absoluto o torna par em relação a cada múltiplo de \pi, observa-se que y é par em torno de x=0 (isto é, y(-x)=y(x)).

Passo 3

Escrever y de modo piecewise conforme o sinal de \sin(x):
Para \sin(x)\ge0 (intervalos [2k\pi,\,(2k+1)\pi]):
|\sin(x)|=\sin(x) \quad\Longrightarrow\quad y=1-\sin(x).
Para \sin(x)\le0 (intervalos [(2k+1)\pi,\,(2k+2)\pi]):
|\sin(x)|=-\sin(x) \quad\Longrightarrow\quad y=1+\sin(x).

Passo 4

Achar pontos-chave no intervalo fundamental [0,2\pi]:
– Em x=0: \sin(0)=0 y=1-0=1.
– Em x=\tfrac{\pi}{2}: \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 y=1-1=0.
– Em x=\pi: \sin(\pi)=0 y=1-0=1.
– Em x=\tfrac{3\pi}{2}: \sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1 y=1+(-1)=0.
– Em x=2\pi: \sin(2\pi)=0 y=1.
Entre esses pontos, cada ramo é suave e coincide com o arco de \sin invertido:
– No trecho [0,\pi], desenhe y=1-\sin(x), que decresce de 1 a 0 e volta a 1.
– No trecho [\pi,2\pi], desenhe y=1+\sin(x), que desce de 1 a 0 em \tfrac{3\pi}{2} e sobe a 1.

Passo 5

Estender o padrão de [0,2\pi] para todo x com período 2\pi. Repetir os arcos acima, obtendo um “serrilhado” simétrico, com picos iguais a y=1 em x=k\pi e vales em y=0 em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, para todo k\in\mathbb{Z}.

Resposta

O gráfico é uma curva periódica de período 2\pi, que em cada período [k\pi,(k+2)\pi]:
  • Atinge máximos y=1 em x=k\pi.
  • Atinge mínimos y=0 em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  • No intervalo onde \sin(x)\ge0, o ramo é dado por y=1-\sin(x) (arco decrescente de 1 a 0 e crescente até 1).
  • No intervalo onde \sin(x)\le0, o ramo é dado por y=1+\sin(x) (arco decrescente de 1 a 0 e crescente até 1).
Em suma, o esboço mostra um “V” suave invertido sobre cada crista de \sin, repetido infinitamente com altura máxima 1 e mínima 0.

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