1. Propagação de ondas eletromagnéticas em um dielétrico
Dados: Material linear, homogêneo e isotrópico com: \varepsilon_{\mathrm{r}}=4 (permitividade relativa); \mu_{\mathrm{r}}=1 (permeabilidade relativa)
Frequência da onda eletromagnética: f=100 \mathrm{MHz}. Determinar:
A) Velocidade da onda no meio.
B) Comprimento de onda.
C) Mostrar que satisfaz a equação de onda.

Passo 1

O enunciado trata da propagação de uma onda eletromagnética num dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, com permitividade relativa \varepsilon_{r}=4 e permeabilidade relativa \mu_{r}=1. A frequência é f=100\text{ MHz}. Vamos usar:
– As relações \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} e \mu=\mu_{0}\mu_{r}.
– A velocidade no meio v=1/\sqrt{\mu\,\varepsilon}.
– O comprimento de onda \lambda=v/f.
– Derivação da equação de onda a partir das equações de Maxwell em região sem cargas nem correntes.

Passo 2

Em meio linear, homogêneo e isotrópico sem perdas vale
v=\frac{1}{\sqrt{\mu\,\varepsilon}} =\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\mu_{r}\,\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}} =\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}\,\frac{1}{\sqrt{\mu_{r}\,\varepsilon_{r}}} =c\,\frac{1}{\sqrt{\mu_{r}\,\varepsilon_{r}}}\,.
Como c=3\times10^{8}\text{ m/s}, \mu_{r}=1 e \varepsilon_{r}=4,
v =3\times10^{8}\,\frac{1}{\sqrt{4}} =1{,}5\times10^{8}\text{ m/s}.

Passo 3

O comprimento de onda é
\lambda=\frac{v}{f} =\frac{1{,}5\times10^{8}\text{ m/s}}{100\times10^{6}\text{ Hz}} =1{,}5\text{ m}.

Passo 4

Nas regiões sem fontes valem as equações de Maxwell
\nabla\times \mathbf{E}=-\mu\,\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}, \qquad \nabla\times \mathbf{H}=\varepsilon\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
Tomando o rotacional da primeira e substituindo a segunda:
\nabla\times(\nabla\times \mathbf{E}) =-\mu\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times \mathbf{H}) =-\mu\,\varepsilon\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.
Como \nabla\cdot\mathbf{E}=0 em meio homogêneo, usamos a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times \mathbf{E}) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E} =-\nabla^{2}\mathbf{E}.
Logo surge a equação de onda
\nabla^{2}\mathbf{E} =\mu\,\varepsilon\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2},
o que mostra que a onda satisfaz a forma clássica da equação de onda num dielétrico.

Resposta

A) v=1{,}5\times10^{8}\text{ m/s}.
B) \lambda=1{,}5\text{ m}.
C) A partir das equações de Maxwell sem fontes obtém-se
\nabla^{2}\mathbf{E} =\mu\,\varepsilon\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2},
confirmando que o campo satisfaz a equação de onda no meio.

Exercícios relacionados