Considere a região
limitada pela curva
e as retas
e
a) Encontre o volume do sólido gerado ao girar a região
em torno do eixo
. b) Encontre o volume do sólido gerado ao girar a região
em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado descreve a região
no plano
limitada pelas curvas
e pede dois volumes de sólido de revolução:
a) ao girar em torno do eixo
.
b) ao girar em torno da reta vertical
.
a) ao girar
b) ao girar
Passo 2
Primeiro, identifiquemos em termos de
como
se apresenta: para cada
em
, o
varia de baixo para cima entre a reta
e o gráfico
. Logo
Passo 3
Para o volume em torno do eixo
, usamos o método das arruelas (discos com furo). A cada
tem-se um disco de raio externo
e raio interno
O volume vale
Passo 4
Calculemos
Logo
Passo 5
Para o volume em torno da reta
, é mais direto usar cascas cilíndricas:
- Cada casca, a uma abscissa
, tem raio
altura
e espessura
.
Assim,
Assim,
Passo 6
Expandindo o integrando:
Logo
Passo 7
Calculemos separadamente. Para
, use
,
, quando
,
. Então
Para
:
Portanto
Passo 8
Finalmente,
Resposta
a)
b)
b)