Considere a região R limitada pela curva y=raizx+3 e as retas y=2, x=1 e x=6 a) Encontre o volume do sólido gerado ao girar a região R em torno do eixo X. b) Encontre o volume do sólido gerado ao girar a região R em torno da reta x=7.

Passo 1

O enunciado descreve a região R no plano xy limitada pelas curvas
y = raizx+3, y = 2, x = 1, x = 6
e pede dois volumes de sólido de revolução:
a) ao girar R em torno do eixo X.
b) ao girar R em torno da reta vertical x = 7.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos em termos de x como R se apresenta: para cada x em [1,6], o y varia de baixo para cima entre a reta y=2 e o gráfico y=raizx+3. Logo
R = l(x,y)mid 1<= x<=6,;2<= y<=raizx+3r,

Passo 3

Para o volume em torno do eixo X, usamos o método das arruelas (discos com furo). A cada x tem-se um disco de raio externo
Rrm ext(x)=raizx+3
e raio interno
Rrm int(x)=2
O volume vale
VX = integralx=1^6 pil[l(Rrm ext(x)r)^2 - l(Rrm int(x)r)^2r],dx = integral1^6pil[(x+3)-4r],dx = piintegral1^6(x-1),dx

Passo 4

Calculemos
integral1^6(x-1),dx = l[tfracx^22-xr]1^6 = l(18-6r)-l(tfrac12-1r) =12-(-tfrac12) =tfrac252
Logo
VX = picdottfrac252 =tfrac25pi2

Passo 5

Para o volume em torno da reta x=7, é mais direto usar cascas cilíndricas:
  • Cada casca, a uma abscissa xin[1,6], tem raio
r(x)=7-x,
altura
h(x)=raizx+3-2,
e espessura dx.
Assim,
Vx=7 = integral1^62pi,r(x),h(x),dx =2piintegral1^6(7-x)l(raizx+3-2r),dx

Passo 6

Expandindo o integrando:
(7-x)(raizx+3-2) =(7-x)raizx+3-2(7-x)
Logo
integral1^6(7-x)(raizx+3-2),dx =integral1^6(7-x)raizx+3,dx -integral1^6l(14-2xr),dx

Passo 7

Calculemos separadamente. Para I1=integral1^6(7-x)raizx+3,dx, use u=x+3, du=dx, quando x=1to u=4, x=6to u=9. Então
I1 =integral4^9(10-u)u^1/2,du =integral4^9l(10u^1/2-u^3/2r),du =l[tfrac203u^3/2-tfrac25u^5/2r]4^9 =tfrac63415
Para I2=integral1^6(14-2x),dx:
I2 =l[14x - x^2r]1^6 =l(84-36r)-l(14-1r) =48-13 =35
Portanto
integral1^6(7-x)(raizx+3-2),dx =I1-I2 =tfrac63415-35 =tfrac10915

Passo 8

Finalmente,
Vx=7 =2picdottfrac10915 =tfrac218pi15

Resposta

a) VX=tfrac25pi2
b) Vx=7=tfrac218pi15

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