\int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva da função
f(x)=x+\frac{1}{x^{3}}
ou seja, encontrar
\int\Bigl(x+\frac{1}{x^{3}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a linearidade da integral e a regra de potência para antiderivadas.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar em duas partes:
\int\Bigl(x+\frac{1}{x^{3}}\Bigr)\,dx =\int x\,dx+\int x^{-3}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int x\,dx usamos a regra de potência \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (valendo para n\neq -1). Aqui n=1, logo
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Para \displaystyle \int x^{-3}\,dx aplicamos a mesma regra com n=-3:
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 5

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\Bigl(x+\frac{1}{x^{3}}\Bigr)\,dx =\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2x^{2}}+C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2x^{2}}+C

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