\int\left(x+\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(x + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de soma de funções, e vamos usar a propriedade de linearidade da integral.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar a soma dentro do integrando:
\int\Bigl(x + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx = \int x\,dx \;+\;\int \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada termo:
  1. Para \displaystyle \int x\,dx, usamos a regra de potência \int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} com n=1, obtendo
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx, lembramos que
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int\Bigl(x + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx = \frac{x^2}{2} + \ln\bigl|x\bigr| + C.

Resposta

\frac{x^2}{2} + \ln\bigl|x\bigr| + C

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