Nos Exercícios de 1 a 20, calcule a integral indefinida.
integral (5 x^2-11 x+5) d xx^3-4 x^2+5 x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 5x^2-11x+5x^3-4x^2+5x-2,dx
Isso é um caso de função racional (quociente de polinômios). Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais:
  1. Fatorar o denominador.
  2. Escrever a função como soma de frações simples.
  3. Determinar coeficientes por confronto de coeficientes.
  4. Integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador ,x^3-4x^2+5x-2. Pelo teste de raiz racional x=1 zera o polinômio, então dividimos por (x-1):
x^3-4x^2+5x-2 = (x-1)l(x^2-3x+2r) = (x-1)(x-1)(x-2) = (x-1)^2(x-2)
Logo podemos escrever
5x^2-11x+5(x-1)^2(x-2) = Ax-2 + Bx-1 + C(x-1)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
Expandindo e agrupando em potências de :
Comparando com vem o sistema
Da primeira , e .

Passo 4

Substituindo os valores na decomposição:
5x^2-11x+5(x-1)^2(x-2) = 3x-2 + 2x-1 + 1(x-1)^2
Agora integramos termo a termo:
integral 3x-2,dx = 3lnlvert x-2rvert, integral 2x-1,dx = 2lnlvert x-1rvert, integral 1(x-1)^2,dx = integral (x-1)^-2dx = -1x-1

Resposta

integral 5x^2-11x+5x^3-4x^2+5x-2,dx = 3lnlvert x-2rvert + 2lnlvert x-1rvert - 1x-1 + C

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