Determine a derivada parcial da função em relação a cada variável:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função $ g(x, y) = \ln(3x + y^2) $ em relação a cada variável, ou seja, em relação a $ x $ e $ y $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar um pouco da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Basicamente, é a derivada de uma função multivariável em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes. Então, vamos calcular $ \frac{\partial g}{\partial x} $ e $ \frac{\partial g}{\partial y} $ separadamente.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função é $ g(x, y) = \ln(3x + y^2) $. Ao derivar logaritmos, usamos a regra: $ \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{u’}{u} $, onde $ u $ é uma função de $ x $.
Passo 4
Nesse caso, $ u = 3x + y^2 $. Derivando $ u $ em relação a $ x $, temos $ u’ = 3 $, porque a derivada de $ 3x $ em relação a $ x $ é 3 e $ y^2 $ é constante em relação a $ x $.
Então, aplicando a regra:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Novamente, usamos a regra do logaritmo: $ \frac{d}{dy} \ln(u) = \frac{u’}{u} $.
Passo 6
Aqui, $ u = 3x + y^2 $. Derivando $ u $ em relação a $ y $, temos $ u’ = 2y $, porque a derivada de $ y^2 $ em relação a $ y $ é $ 2y $ e $ 3x $ é constante em relação a $ y $.
Então, aplicando a regra:
Resposta
As derivadas parciais da função $ g(x, y) = \ln(3x + y^2) $ são: