Determine a derivada parcial da função em relação a cada variável:
g(x, y)=ln (3 x+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função $ g(x, y) = \ln(3x + y^2) $ em relação a cada variável, ou seja, em relação a $ x $ e $ y $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar um pouco da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Basicamente, é a derivada de uma função multivariável em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes. Então, vamos calcular $ \frac{\partial g}{\partial x} $ e $ \frac{\partial g}{\partial y} $ separadamente.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função é $ g(x, y) = \ln(3x + y^2) $. Ao derivar logaritmos, usamos a regra: $ \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{u’}{u} $, onde $ u $ é uma função de $ x $.

Passo 4

Nesse caso, $ u = 3x + y^2 $. Derivando $ u $ em relação a $ x $, temos $ u’ = 3 $, porque a derivada de $ 3x $ em relação a $ x $ é 3 e $ y^2 $ é constante em relação a $ x $.
Então, aplicando a regra:
u = 3x + y^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Novamente, usamos a regra do logaritmo: $ \frac{d}{dy} \ln(u) = \frac{u’}{u} $.

Passo 6

Aqui, $ u = 3x + y^2 $. Derivando $ u $ em relação a $ y $, temos $ u’ = 2y $, porque a derivada de $ y^2 $ em relação a $ y $ é $ 2y $ e $ 3x $ é constante em relação a $ y $.
Então, aplicando a regra:
u = 3x + y^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ g(x, y) = \ln(3x + y^2) $ são:
g(x, y) = ln(3x + y^2)

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