Exemplo 2.17 Calcule lim t 1 F(t), onde F(t)=(raizt-1t-1, t^2, t-1t). A função F é contínua em t0=1 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limtto1vec F(t),
onde
vec F(t)=gl(raizt-1t-1,,t^2,,t-1tgr),
e depois verificar se vec F é contínua em t0=1. O conteúdo é cálculo de limites de funções vetoriais e critério de continuidade em ponto.

Passo 2

Calcular o limite da primeira componente
raizt-1t-1(tto1)
Note que dá forma 0/0. Racionalizamos o numerador multiplicando por tfracraizt+1raizt+1:
raizt-1t-1 =(raizt-1)(raizt+1)(t-1)(raizt+1) =t-1(t-1)(raizt+1) =1raizt+1
Portanto
limtto1raizt-1t-1 =1raiz1+1 =12

Passo 3

Calcular o limite da segunda componente t^2. Como é polinômio, é contínuo, logo
limtto1t^2=1^2=1

Passo 4

Calcular o limite da terceira componente t-1t. Novamente não há indeterminação em t=1, pois o denominador vai para 1neq0. Então
limtto1t-1t=1-11=0

Passo 5

Juntando as três componentes, obtemos
limtto1vec F(t) =l(tfrac12,,1,,0r)

Passo 6

Para vec F ser contínua em t0=1, é preciso que vec F(1) exista e seja igual ao limite acima. Verificamos componente a componente em t=1:
– A segunda componente vale 1^2=1.
– A terceira vale tfrac1-11=0.
– A primeira, tfracraiz1-11-1, não está definida (denominador zero).
Portanto vec F(1) não existe como está definida originalmente, e logo vec F não é contínua em t0=1.

Resposta

limtto1vec F(t)=l(tfrac12,,1,,0r),
e vec F não é contínua em t0=1 pois a primeira componente não está definida em t=1.

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