Exemplo 2.17 Calcule
, onde
. A função
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
e depois verificar se
é contínua em
. O conteúdo é cálculo de limites de funções vetoriais e critério de continuidade em ponto.
Passo 2
Calcular o limite da primeira componente
Note que dá forma
. Racionalizamos o numerador multiplicando por
:
Portanto
Passo 3
Calcular o limite da segunda componente
. Como é polinômio, é contínuo, logo
Passo 4
Calcular o limite da terceira componente
. Novamente não há indeterminação em
, pois o denominador vai para
. Então
Passo 5
Juntando as três componentes, obtemos
Passo 6
Para
ser contínua em
, é preciso que
exista e seja igual ao limite acima. Verificamos componente a componente em
:
– A segunda componente vale .
– A terceira vale .
– A primeira, , não está definida (denominador zero).
Portanto não existe como está definida originalmente, e logo
não é contínua em
.
– A segunda componente vale
– A terceira vale
– A primeira,
Portanto
Resposta
e
não é contínua em
pois a primeira componente não está definida em
.