Considere a região
do plano delimitada pelas curvas
e
e o sólido
obtido pela rotação de
em torno da reta
.
Expresse o volume de
por uma integral utilizando o método das cascas cilíndricas. Não precisa calcular a integral.
Expresse o volume de
Passo 1
O enunciado descreve a região
no plano delimitada pelas curvas
e
, e pede o volume do sólido
obtido ao girar
em torno da reta
. O que vamos usar é o método das cascas cilíndricas, que consiste em tomar fatias verticais (espessura
) e girá-las em torno de
, gerando “tubinhos” cuja contribuição infinitesimal de volume é
.
Passo 2
Precisamos primeiro achar os limites de integração, isto é, os pontos de interseção entre
e
. Igualando:
eleva-se ao quadrado para obter
, de onde
Logo, a região está entre
e
.
Passo 3
Para uma fatia vertical em abscissa
:
– o raio da casca é a distância horizontal até a reta , ou seja
– o raio da casca é a distância horizontal até a reta
– a altura da casca é a diferença entre a curva superior
e a curva inferior
, ou seja
A área lateral de cada casca cilíndrica é
, e multiplicando por
obtemos o volume infinitesimal.