Considere a região R do plano delimitada pelas curvas x=y e y=raizx e o sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta x=2.
Expresse o volume de S por uma integral utilizando o método das cascas cilíndricas. Não precisa calcular a integral.

Passo 1

O enunciado descreve a região R no plano delimitada pelas curvas y = x e y = raizx, e pede o volume do sólido S obtido ao girar R em torno da reta x=2. O que vamos usar é o método das cascas cilíndricas, que consiste em tomar fatias verticais (espessura dx) e girá-las em torno de x=2, gerando “tubinhos” cuja contribuição infinitesimal de volume é 2picdot(raio)cdot(a<ura),dx.

Passo 2

Precisamos primeiro achar os limites de integração, isto é, os pontos de interseção entre y=x e y=raizx. Igualando:
x = raizx
eleva-se ao quadrado para obter x^2 = x, de onde
x(x-1)=0 Longrightarrow x=0 ou x=1
Logo, a região está entre x=0 e x=1.

Passo 3

Para uma fatia vertical em abscissa xin[0,1]:
– o raio da casca é a distância horizontal até a reta x=2, ou seja
r(x) = 2 - x,
– a altura da casca é a diferença entre a curva superior y=raizx e a curva inferior y=x, ou seja
h(x) = raizx - x
A área lateral de cada casca cilíndrica é 2pi,r(x),h(x), e multiplicando por dx obtemos o volume infinitesimal.

Resposta

V = integral0^1 2pi,(2 - x),l(raizx - xr),dx

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