Determine uma equação para o plano tangente ao gráfico da função
no ponto indicado
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = \sqrt{xy} $ no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e plano tangente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, avalia-las no ponto dado e usar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f(x, y) = \sqrt{xy} $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Para $ f_x(1, 1) $:
E para $ f_y(1, 1) $:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Onde
é o ponto de tangência, que no nosso caso é
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando a equação:
Resposta
A equação do plano tangente é $ z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2} $.