Determine uma equação para o plano tangente ao gráfico da função f no ponto indicado
f(x, y)=raizx y, (1,1, f(1,1))=(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = \sqrt{xy} $ no ponto f(x, y) = raizxy . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e plano tangente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, avalia-las no ponto dado e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f(x, y) = \sqrt{xy} $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f(x, y) = raizxy
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (1, 1):
Para $ f_x(1, 1) $:
fx(1, 1)
E para $ f_y(1, 1) $:
fx(1, 1) = 12raiz1 cdot 1 = 12

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Onde (a, b, f(a, b)) é o ponto de tangência, que no nosso caso é (1, 1, 1).

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
z = 1 + 12(x - 1) + 12(y - 1)
Simplificando a equação:
z = 1 + x - 12 + y - 12 = x2 + y2

Resposta

A equação do plano tangente é $ z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2} $.

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