Considere a região R do plano delimitada pelas curvas x=y e y=raizx e o sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta x=2.
Expresse o volume de S por uma integral utilizando o método do fatiamento. Não precisa calcular a integral.

Passo 1

O enunciado nos dá a região R limitada pelas curvas x=y e y=raizx e pede o volume do sólido S obtido por rotação de R em torno da reta x=2. Vamos usar o método do fatiamento, isto é, obter a área de uma seção transversal e integrar sobre o intervalo adequado.

Passo 2

Como a reta de rotação é vertical ( x=2), escolhemos fatias horizontais de espessura dy. A uma altura genérica y, a fatia de R vai de
xesq=y^2
até
xdir=y
Ao girar essa fatia em torno de x=2, formam-se discos anelares (washers) com
raio externo R(y)=2 - xesq=2 - y^2,
raio interno r(y)=2 - xdir=2 - y
A área da seção é
A(y)=pil[R(y)^2 - r(y)^2r] =pil[(2 - y^2)^2 - (2 - y)^2r]

Passo 3

Os pontos de interseção de y=raizx e x=y vêm de y=raizy, ou seja y=0 e y=1. Logo y varia de 0 a 1.

Passo 4

O volume é a integral da área das seções ao longo de yin[0,1]:
V =integral0^1A(y),dy =integral0^1pil[(2 - y^2)^2 - (2 - y)^2r]dy

Resposta

V =piintegral0^1l[(2 - y^2)^2 - (2 - y)^2r]dy

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