Explique por que a função z=f(x, y) é diferenciável no ponto indicado
f(x, y)=xx+y, Q(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a função z = f(x, y) = xx + y é diferenciável no ponto Q(2,1) . Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, especialmente sobre diferenciabilidade. Precisamos verificar se as derivadas parciais existem e se a função se comporta bem perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável no ponto Q(a,b) se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y e verificar se elas existem e são contínuas em Q(2,1) .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x . Usando a regra do quociente:
fx(x, y) = partialpartial x ( xx + y ) = (1)(x + y) - x(1)(x + y)^2 = y(x + y)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y ( xx + y ) = (0)(x + y) - x(1)(x + y)^2 = -x(x + y)^2

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto Q(2,1) . Substituindo x = 2 e y = 1 :
fx(2, 1) = 1(2 + 1)^2 = 19
fy(2, 1) = -2(2 + 1)^2 = -29

Passo 6

Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas perto de Q(2,1) . As expressões para fx e fy têm denominadores (x + y)^2 , que não se anulam perto de Q(2,1) porque x + y = 3 nesse ponto, e pequenos desvios não zeram o denominador. Assim, as derivadas parciais são contínuas nesse ponto.

Passo 7

Como as derivadas parciais fx e fy existem e são contínuas no ponto Q(2,1) , podemos concluir que a função f(x, y) = xx + y é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função z = xx + y é diferenciável no ponto Q(2,1) porque suas derivadas parciais existem, são contínuas nesse ponto e permitem a aproximação por um plano tangente ali.

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