Explique por que a função
é diferenciável no ponto indicado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a função
é diferenciável no ponto
. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, especialmente sobre diferenciabilidade. Precisamos verificar se as derivadas parciais existem e se a função se comporta bem perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável no ponto
se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e verificar se elas existem e são contínuas em
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
. Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas perto de
. As expressões para
e
têm denominadores
, que não se anulam perto de
porque
nesse ponto, e pequenos desvios não zeram o denominador. Assim, as derivadas parciais são contínuas nesse ponto.
Passo 7
Como as derivadas parciais
e
existem e são contínuas no ponto
, podemos concluir que a função
é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
porque suas derivadas parciais existem, são contínuas nesse ponto e permitem a aproximação por um plano tangente ali.