integral x-1x^2+2 x d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral x-1x^2+2x,dx. O conteúdo é integração de funções racionais e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2+2x = x(x+2)
Assim podemos escrever
x-1x(x+2) = Ax + Bx+2

Passo 3

Agora montamos a igualdade de numeradores:
x-1 = A(x+2) + Bx = (A+B)x + 2A

Passo 4

Comparando coeficientes de x e termos constantes obtemos o sistema:
A+B = 12A = -1
Da segunda equação vem A = -tfrac12. Substituindo na primeira, B = 1 - A = 1 + tfrac12 = tfrac32.
Logo a decomposição é
x-1x(x+2) = -tfrac121x + tfrac321x+2

Passo 5

Agora a integral separa em duas partes:
integral x-1x^2+2x,dx = -tfrac12integral dxx + tfrac32integral dxx+2

Passo 6

Por fim, integramos usando integral duu = ln|u| + C:
-tfrac12ln|x| + tfrac32ln|x+2| + C

Resposta

-\tfrac12\ln|x| + \tfrac32\ln|x+2| + C

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