Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral, defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário.
integral0^1(x+2 raiz1-x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região sob a curva
y = x + 2raiz1 - x^2
no intervalo 0 <= x <= 1 e calcular a área dessa região, dada pela integral
integral0^1l(x + 2raiz1 - x^2r),dx
Este é um problema de área sob curva, que vamos resolver decompondo o integrando em duas partes: a área sob y=x (triângulo) e a área sob y=2raiz1-x^2 (porção de círculo).

Passo 2

Esboço e decomposição em integrais:
  • A reta y=x em 0<= x<=1 forma um triângulo de base 1 e altura 1.
  • A curva y=raiz1-x^2 é o semicírculo superior de raio 1; multiplicada por 2, y=2raiz1-x^2 dá uma porção de meio disco sobre [0,1].
    Assim,
integral0^1l(x+2raiz1-x^2r),dx =integral0^1x,dx ;+;2integral0^1raiz1-x^2,dx

Passo 3

Cálculo da área sob y=x:
integral0^1x,dx =[x^22]0^1 =12

Passo 4

Cálculo da área sob y=raiz1-x^2: é um quarto de círculo de raio 1,
integral0^1raiz1-x^2,dx =pi4
Multiplicando por 2 (pela decomposição),
2integral0^1raiz1-x^2,dx =2cdotpi4 =pi2

Passo 5

Somando as duas parcelas,
integral0^1l(x+2raiz1-x^2r),dx =12+pi2 =1+pi2

Resposta

1+pi2

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