Sejam A:(a, 0), B:(0, a) e C:(a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P:(x, y) cuja distância à reta que passa por A e B é igual à distância de P ao ponto C.
Escolha uma opção:
x^2+y^2+2 x y-2 a x-2 a y-3 a^2=0

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P à reta que passa por A=(a,0) e B=(0,a) é igual à distância de P ao ponto C=(a,a). Vamos usar a fórmula da distância ponto–reta e a fórmula da distância ponto–ponto.

Passo 2

Determinamos a equação da reta AB. Como A e B satisfazem
x+y - a = 0,
essa é a equação desejada. Para P=(x,y), a distância até AB é
dreta=l|x+y-ar|raiz1^2+1^2 =l|x+y-ar|raiz2

Passo 3

A distância de P=(x,y) ao ponto C=(a,a) vem de
dC=raiz(x-a)^2+(y-a)^2

Passo 4

Igualamos as distâncias e elevamos ao quadrado para eliminar o valor absoluto:
(x+y-a)^22 ;=;(x-a)^2+(y-a)^2
Multiplicando ambos os lados por 2 e expandindo, obtemos
(x+y-a)^2=2l((x-a)^2+(y-a)^2r) ;Longrightarrow; -,x^2-y^2+2xy+2a x+2a y-3a^2=0

Passo 5

Multiplicando por -1 para simplificar o sinal, chega-mos à fórmula final do lugar geométrico:
x^2+y^2-2xy-2a,x-2a,y+3a^2=0

Resposta

A equação do lugar geométrico é
x^2+y^2-2xy-2a,x-2a,y+3a^2=0

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