Considere a região R , delimitada pelas curvas x=(y-4)^2 e x=4. Seja S o sólido obtido pela rotação da região R em torno de y=2.
Expresse o volume de S usando o método dos discos ou fatías (Não precisa calcular a integral).

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada pelas curvas
x = (y-4)^2
e
x = 4
e pede o volume do sólido S gerado pela rotação de R em torno da reta y=2.
Conteúdo: método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo de rotação).

Passo 2

Primeiro, achamos os valores de y em que as duas curvas se interceptam, resolvendo
(y-4)^2 = 4
que dá
y-4 = pm 2 Longrightarrow y = 2 ou y = 6
Logo R vai de y=2 até y=6, mas para usar discos precisamos parametrizar em x. Note que x=(y-4)^2 varia de 0 a 4.

Passo 3

Vamos usar fatias verticais (perpendiculares a y=2). Para cada xin[0,4], a região em y vai de
yinf = 4 - raizx até ysup = 4 + raizx é
Ao rodar essa fatia em torno de y=2 obtemos um “anel” de raio externo
Rext(x) = ysup - 2 = (4 + raizx) - 2 = 2 + raizx
e raio interno
Rint(x) = yinf - 2 = (4 - raizx) - 2 = 2 - raizx

Passo 4

A área da seção transversal em x vale
A(x) = pil[Rext(x)^2 - Rint(x)^2r] = pil[(2 + raizx)^2 - (2 - raizx)^2r]

Passo 5

O volume V é então a integral dessas áreas de x=0 até x=4:
V = integralx=0^4 A(x),dx = integral0^4 pil[(2 + raizx)^2 - (2 - raizx)^2r],dx

Resposta

V = integral0^4 pil[(2 + raizx)^2 - (2 - raizx)^2r],dx

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