Considere a região R , delimitada pelas curvas x=(y-4)^2 e x=4. Seja S o sólido obtido pela rotação da região R em torno de y=2.
Expresse o volume de S usando o método das cascas cilíndricas (Não precisa calcular a integral).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S gerado pela rotação da região R em torno da reta y=2. A região R é delimitada pelas curvas
x = (y-4)^2
e
x = 4,
e vamos usar o método das cascas cilíndricas, que consiste em tomar retângulos paralelos à reta de rotação e girá-los para formar “casquinhas” cilíndricas.

Passo 2

Primeiro identificamos o intervalo de variação de y. Como (y-4)^2<=4, temos
-2 <= y-4 <= 2 Longrightarrow 2 <= y <= 6
Em cada valor de yin[2,6] tomamos um retângulo horizontal de comprimento (altura da casca)
a<ura = xdireita - xesquerda = 4 - (y-4)^2,
espessura dy e, ao girar em torno de y=2, esse retângulo gera uma casca cilíndrica de raio
raio = |y - 2| = y - 2
(pois y>=2 na região).

Passo 3

O volume de cada casca é aproximadamente
De<a V approx 2pi times (raio) times (a<ura) times (espessura) = 2pi,(y-2),l[,4-(y-4)^2r],dy,
e somando todas as cascas de y=2 até y=6 obtemos a integral do volume:
V = integraly=2^6 2pi,(y-2),l[4 - (y-4)^2r],dy

Resposta

V = 2pi integral2^6 (y-2),l[4 - (y-4)^2r],dy

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