Estude as funções quanto a máximos e mínimos absolutos:
;
Passo 1
Vamos analisar a função
no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar os máximos e mínimos absolutos dessa função. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas, pontos críticos e avaliação nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função está bem definida no intervalo dado. A expressão dentro da raiz quadrada,
, precisa ser maior ou igual a zero:
Fatorando:
Analisando os sinais, temos que a função está definida para
. No nosso intervalo
, isso significa que a função está definida para
e em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
para identificar os pontos críticos:
Aplicando a regra da cadeia:
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
:
Então,
ou
.
Passo 4
Verificamos se esses pontos estão no domínio da função:
-
está no intervalo e na definição da função. -
está em , mas precisamos verificar se está no domínio .
Calculando
:
Como está negativo,
não está no domínio da função. Portanto, o único ponto crítico dentro do domínio é
.
Passo 5
Vamos agora avaliar a função nos pontos que fazem fronteira do domínio no intervalo
:
-
: Verificamos a definição da função:
Isso não é um número real, então
não está no domínio da função.
-
:
-
:
Passo 6
Como o único ponto onde a função está definida no intervalo
e que não gera um valor imaginário é
e
, ambos com
, concluímos que:
Resposta
A função
no intervalo
possui um mínimo absoluto em
e
, ambos com valor
. Não há máximos absolutos nesse intervalo.