Estude as funções quanto a máximos e mínimos absolutos:
f(x)=raizx^3-2 x^2, x in[-1,2];

Passo 1

Vamos analisar a função f(x) = raizx^3 - 2x^2 no intervalo x in [-1, 2] . Nosso objetivo é encontrar os máximos e mínimos absolutos dessa função. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas, pontos críticos e avaliação nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função está bem definida no intervalo dado. A expressão dentro da raiz quadrada, x^3 - 2x^2 , precisa ser maior ou igual a zero:
x^3 - 2x^2 >= 0
Fatorando:
x^2(x - 2) >= 0
Analisando os sinais, temos que a função está definida para x in (-infty, 0] cup [2, +infty) . No nosso intervalo [-1, 2] , isso significa que a função está definida para x in [-1, 0] e em x = 2 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de f(x) para identificar os pontos críticos:
f(x) = raizx^3 - 2x^2 = (x^3 - 2x^2)^1/2
Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 12(x^3 - 2x^2)^-1/2 cdot (3x^2 - 4x)
f'(x) = 3x^2 - 4x2raizx^3 - 2x^2
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f'(x) = 0 :
3x^2 - 4x = 0
x(3x - 4) = 0
Então, x = 0 ou x = 43 .

Passo 4

Verificamos se esses pontos estão no domínio da função:
  • x = 0 está no intervalo e na definição da função.
  • x = 43 está em [-1, 2] , mas precisamos verificar se 43 está no domínio x in [-1, 0] cup [2, +infty) .
Calculando x = 43 :
(43)^3 - 2(43)^2 = 6427 - 2 cdot 169 = 6427 - 329 = 6427 - 9627 = -3227 < 0
Como está negativo, x = 43 não está no domínio da função. Portanto, o único ponto crítico dentro do domínio é x = 0 .

Passo 5

Vamos agora avaliar a função nos pontos que fazem fronteira do domínio no intervalo [-1, 2] :
  • x = -1 : Verificamos a definição da função:
f(-1) = raiz(-1)^3 - 2(-1)^2 = raiz-1 - 2 = raiz-3
Isso não é um número real, então x = -1 não está no domínio da função.
  • x = 0 :
f(0) = raiz0^3 - 2 cdot 0^2 = raiz0 = 0
  • x = 2 :
f(2) = raiz2^3 - 2 cdot 2^2 = raiz8 - 8 = raiz0 = 0

Passo 6

Como o único ponto onde a função está definida no intervalo [-1, 2] e que não gera um valor imaginário é x = 0 e x = 2 , ambos com f(x) = 0 , concluímos que:

Resposta

A função f(x) = raizx^3 - 2x^2 no intervalo x in [-1, 2] possui um mínimo absoluto em x = 0 e x = 2 , ambos com valor f(x) = 0 . Não há máximos absolutos nesse intervalo.

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