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Considere h(s) uma função contínua em R, tal que integral-x^x^2 h(s) d s=cos (x)+3 x, para todo x >= 0. Determine h(0).

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função contínua hcolon RtoR tal que, para todo x>=0,
integral-x^x^2 h(s),ds = cos(x) + 3x
Queremos descobrir o valor de h(0). Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra de Leibniz para diferenciar essa integral em função de x.

Passo 2

Diferenciando (para x>0) ambos os lados em relação a x, pela Regra de Leibniz temos
ddxintegral-x^x^2h(s),ds = hl(x^2r)cdotddx(x^2);-;h(-x)cdotddx(-x) =2x,h(x^2)+h(-x)
Já o lado direito dá
ddxl(cos(x)+3xr)=-sin(x)+3
Logo obtemos a equação funcional
2x,h(x^2)+h(-x)=-sin(x)+3, x>=0

Passo 3

Basta avaliar essa relação em x=0. O termo 2x,h(x^2) some em x=0, e ficamos com
h(0)=-sin(0)+3=0+3=3

Resposta

3

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