1. Encontre as dimensões e o volume do cone reto invertido, de maior volume, inscrito em um cone reto de altura H e raio da base R, estando o vértice do cone invertido no centro da base do cone maior.

Passo 1

O enunciado pede para inscrever um cone reto invertido de vértice no centro da base de um cone maior de altura H e raio da base R, de modo que o volume do cone invertido seja máximo.
Conteúdo: semelhança de triângulos para relacionar dimensões e otimização de função pela derivada.

Passo 2

Seja h a altura do cone invertido (medida do vértice no centro da base do cone maior até o plano de sua base) e r o raio dessa base. Pela semelhança dos triângulos formados pelas geratrizes do cone maior e do cone invertido, temos
rR ;=;H - hH
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r ;=;Rl(1 - hHr)

Passo 3

O volume do cone invertido é
V(h);=;pi3,r^2,h ;=;pi3,gl[Rl(1 - hHr)gr]^2,h ;=;pi R^23;hl(1 - hHr)^2

Passo 4

Para maximizar V(h), derivamos em relação a h:
V'(h) =pi R^23;ddhl[h(1 - tfrachH)^2r] =pi R^23;(1 - tfrachH)l(1 - tfrac3hHr)
Igualando a zero,
(1 - tfrachH)(1 - tfrac3hH)=0 Longrightarrow h=H3
(descartamos h=H pois daria volume zero).

Passo 5

Substituindo h=H/3 em r=R(1 - h/H), obtemos
r=Rl(1-tfrac13r)=2R3
O volume máximo fica
Vmax =pi R^23;H3l(1-tfrac13r)^2 =pi R^23;H3;49 =4pi R^2H81

Resposta

Altura do cone invertido: H3.
Raio da base do cone invertido: 2R3.
Volume máximo: 4pi R^2H81.

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