- Encontre as dimensões e o volume do cone reto invertido, de maior volume, inscrito em um cone reto de altura
e raio da base
, estando o vértice do cone invertido no centro da base do cone maior.
Passo 1
O enunciado pede para inscrever um cone reto invertido de vértice no centro da base de um cone maior de altura
e raio da base
, de modo que o volume do cone invertido seja máximo.
Conteúdo: semelhança de triângulos para relacionar dimensões e otimização de função pela derivada.
Conteúdo: semelhança de triângulos para relacionar dimensões e otimização de função pela derivada.
Passo 2
Seja
a altura do cone invertido (medida do vértice no centro da base do cone maior até o plano de sua base) e
o raio dessa base. Pela semelhança dos triângulos formados pelas geratrizes do cone maior e do cone invertido, temos
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Passo 3
O volume do cone invertido é
Passo 4
Para maximizar
, derivamos em relação a
:
Igualando a zero,
(descartamos
pois daria volume zero).
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos
O volume máximo fica
Resposta
Altura do cone invertido:
.
Raio da base do cone invertido: .
Volume máximo: .
Raio da base do cone invertido:
Volume máximo: