Sejam X(u, v) uma superficie parametrizada regular e q=\left(u_{0}, v_{0}\right). Prove que um vetor w=a X_{u}(q)+b X_{v}(q) é um vetor principal de X em q se, e só se,
Para w\neq0\] admitir solução não-trivial em \((a,b) basta que essas duas equações levem ao mesmo valor de \kappa.]
Passo 3
Multiplicando a primeira equação por b\) e a segunda por \(a\), temos
\[\begin{cases} (e_0 - \kappa E_0)\,a b \;+\;(f_0 - \kappa F_0)\,b^2 = 0,\\\ (f_0 - \kappa F_0)\,a^2 + (g_0 - \kappa G_0)\,a b = 0. \end{cases}
Isolando \kappa\] em cada uma e igualando, obtemos a condição (após fatorar \(ab\neq0 e reorganizar):