Sejam X(u, v) uma superficie parametrizada regular e q=\left(u_{0}, v_{0}\right). Prove que um vetor w=a X_{u}(q)+b X_{v}(q) é um vetor principal de X em q se, e só se,
\left|\begin{array}{lll} b^{2} & -a b & a^{2} \\\ E_{0} & F_{0} & G_{0} \\\ e_{0} & f_{0} & g_{0} \end{array}\right|=0 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado
w = a\,X_u(q) + b\,X_v(q),
esse vetor é direcção principal da superfície parametrizada X(u,v) em q=(u_0,v_0) se, e só se,
\left|\begin{matrix} b^2 & -ab & a^2\\\ E_0 & F_0 & G_0\\\ e_0 & f_0 & g_0 \end{matrix}\right| \;=\;0,
onde
E_0 = \bigl\langle X_u,X_u\bigr\rangle(q),\quad F_0 = \bigl\langle X_u,X_v\bigr\rangle(q),\quad G_0 = \bigl\langle X_v,X_v\bigr\rangle(q),
e_0 = \bigl\langle X_{uu},N\bigr\rangle(q),\quad f_0 = \bigl\langle X_{uv},N\bigr\rangle(q),\quad g_0 = \bigl\langle X_{vv},N\bigr\rangle(q).
O conteúdo é o conceito de direcção principal como vetor-próprio do operador de Weingarten (ou da 2.ª forma fundamental em relação à 1.ª).

Passo 2

A direcção w\) é principal se existe \(\kappa\) tal que \[S(w) \;=\;\kappa\,w,
onde S é o operador de Weingarten. Em coordenadas (X_u,X_v) isso dá o sistema homogéneo
\begin{cases} (e_0 - \kappa E_0)\,a + (f_0 - \kappa F_0)\,b = 0,\\[6pt] (f_0 - \kappa F_0)\,a + (g_0 - \kappa G_0)\,b = 0. \end{cases}
Para w\neq0\] admitir solução não-trivial em \((a,b) basta que essas duas equações levem ao mesmo valor de \kappa.]

Passo 3

Multiplicando a primeira equação por b\) e a segunda por \(a\), temos \[\begin{cases} (e_0 - \kappa E_0)\,a b \;+\;(f_0 - \kappa F_0)\,b^2 = 0,\\\ (f_0 - \kappa F_0)\,a^2 + (g_0 - \kappa G_0)\,a b = 0. \end{cases}
Isolando \kappa\] em cada uma e igualando, obtemos a condição (após fatorar \(ab\neq0 e reorganizar):
a^2\,(f_0 E_0 - e_0 F_0) \;+\;a b\,(g_0 E_0 - e_0 G_0) \;+\;b^2\,(g_0 F_0 - f_0 G_0) \;=\;0.

Passo 4

Basta reconhecer que a expansão da determinante de
\left|\begin{matrix} b^2 & -ab & a^2\\\ E_0 & F_0 & G_0\\\ e_0 & f_0 & g_0 \end{matrix}\right|
pela primeira linha dá exatamente
b^2\,(F_0 g_0 - G_0 f_0) \;+\;ab\,(E_0 g_0 - G_0 e_0) \;+\;a^2\,(E_0 f_0 - F_0 e_0) \;=\;0,
que é equivalente à condição acima. Portanto, w é vetor principal se, e só se, essa determinante anula.

Resposta

\left|\begin{matrix} b^2 & -ab & a^2\\\ E_0 & F_0 & G_0\\\ e_0 & f_0 & g_0 \end{matrix}\right|\;=\;0.

Exercícios relacionados