Considere a região
do plano delimitada pelas curvas
e
e o sólido
obtido pela rotação de
em torno da reta
:
(a) Determine a área de
.
(b) Expresse o volume de
por uma integral utilizando o método das cascas cilíndricas. Não precisa calcular a integral.
(c) Expresse o volume de
por uma integral utilizando o método do fatiamento. Não precisa calcular a integral.
(a) Determine a área de
(b) Expresse o volume de
(c) Expresse o volume de
Passo 1
O enunciado define a região
limitada pelas curvas
e
no plano. Essas duas curvas se intersectam quando
, isto é, em
e
. Para resolver vamos precisar de:
– Cálculo de área via integração em .
– Método das cascas cilíndricas (integração em ).
– Método do fatiamento por discos (integração em ), já que o eixo de rotação
é vertical.
– Cálculo de área via integração em
– Método das cascas cilíndricas (integração em
– Método do fatiamento por discos (integração em
Passo 2
Para achar a área de
usamos integração em
. Em cada
,
varia de
até
. Logo
Fazendo a integral,
logo
Passo 3
Pelo método das cascas cilíndricas, escolhemos tiras verticais em
. Cada casca tem:
– raio (distância até
),
– altura ,
– espessura .
Assim o volume é
– raio
– altura
– espessura
Assim o volume é
Passo 4
No método do fatiamento por discos (washers), usamos tiras horizontais em
. Ao girar em torno de
, a região gera um anel de:
– raio externo ,
– raio interno ,
– espessura .
O volume é
– raio externo
– raio interno
– espessura
O volume é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)