Considere a região R do plano delimitada pelas curvas x=y e y=raizx e o sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta x=2 :
(a) Determine a área de R.
(b) Expresse o volume de S por uma integral utilizando o método das cascas cilíndricas. Não precisa calcular a integral.
(c) Expresse o volume de S por uma integral utilizando o método do fatiamento. Não precisa calcular a integral.

Passo 1

O enunciado define a região R limitada pelas curvas
x=y
e
y=raizx
no plano. Essas duas curvas se intersectam quando y=y^2, isto é, em y=0 e y=1. Para resolver vamos precisar de:
– Cálculo de área via integração em y.
– Método das cascas cilíndricas (integração em x).
– Método do fatiamento por discos (integração em y), já que o eixo de rotação x=2 é vertical.

Passo 2

Para achar a área de R usamos integração em y. Em cada yin[0,1], x varia de xmin=y^2 até xmax=y. Logo
Área(R)=integraly=0^1l(xmax-xminr),dy =integral0^1l(y - y^2r),dy Á
Fazendo a integral,
integral0^1y,dy=12, integral0^1y^2,dy=13,
logo
Área(R)=12 - 13 = 16 Á

Passo 3

Pelo método das cascas cilíndricas, escolhemos tiras verticais em xin[0,1]. Cada casca tem:
– raio =2 - x (distância até x=2),
– altura =raizx-x,
– espessura dx.
Assim o volume é
V = 2pi integralx=0^1 (,raio,),(,a<ura,),dx =2pi integral0^1 (2 - x)l(raizx-xr),dx

Passo 4

No método do fatiamento por discos (washers), usamos tiras horizontais em yin[0,1]. Ao girar em torno de x=2, a região gera um anel de:
– raio externo Rext=2 - xmin=2 - y^2,
– raio interno Rint=2 - xmax=2 - y,
– espessura dy.
O volume é
V = pi integraly=0^1l[Rext^2-Rint^2r],dy =pi integral0^1l[(2 - y^2)^2 - (2 - y)^2r],dy

Resposta

(a) 16
(b) V = 2pi integral0^1 (2 - x)l(raizx-xr),dx
(c) V = pi integral0^1l[(2 - y^2)^2 - (2 - y)^2r],dy

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