Considere a região R do plano delimitada pelas curvas y = x^2 + 1, y = 9 - x^2 e o sólido obtido pela rotação de R em torno da reta y = -1
a) Determine a área de R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região R que está entre as curvas e . Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente em Integrais Definidas para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas dentro desses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação acima:
Então, as curvas se cruzam em e x = 2.

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos definir os limites de integração como a x = 2. Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre a função de cima e a função de baixo nesse intervalo.
Mas antes, precisamos identificar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Observando as funções:
  • é uma parábola que abre para baixo.
  • é uma parábola que abre para cima.
No intervalo -2 <= x <= 2, está acima de .

Passo 5

Agora, montamos a integral para calcular a área:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Á
Calculando cada parte:
Agora, substituindo de volta:
Á

Resposta

A área da região R é unidades quadradas.

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