Resolva as integrais definidas abaixo
integral0^pi 12(cos x+|cos x|) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^pi 12(cos x + |cos x|) , dx. Essa questão envolve cálculo de integrais e análise de funções com valor absoluto. Vamos precisar entender como a função cos x se comporta no intervalo de 0 a pi e como o valor absoluto afeta essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: 12(cos x + |cos x|). O que isso faz é somar cos x com o valor absoluto de cos x e depois multiplicar por 12. Vamos entender isso melhor.

Passo 3

Sabemos que o cosseno de x, cos x, varia entre -1 e 1. No intervalo de 0 a pi, cos x começa em 1 (quando x = 0), diminui até -1 (quando x = pi). O valor absoluto, |cos x|, vai transformar quaisquer valores negativos de cos x em positivos.

Passo 4

Vamos dividir o intervalo de integração em duas partes onde cos x é positiva e onde é negativa:
  1. De 0 a pi2, cos x >= 0, então |cos x| = cos x.
  2. De pi2 a pi, cos x <= 0, então |cos x| = -cos x.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função dentro da integral para cada intervalo:
  • Para 0 <= x <= pi2:
    12(cos x + cos x) = 12(2cos x) = cos x
  • Para pi2 <= x <= pi:
    12(cos x + (-cos x)) = 12(0) = 0

Passo 6

Então, a integral fica dividida em duas partes:
integral0^pi 12(cos x + |cos x|) , dx = integral0^pi2 cos x , dx + integralpi2^pi 0 , dx

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. integral0^pi2 cos x , dx = sin x |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
  2. integralpi2^pi 0 , dx = 0

Passo 8

Somando as duas partes:
1 + 0 = 1

Resposta

O valor da integral é 1.

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