Resolva as integrais definidas abaixo
integral-1^2(x-2|x|) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-1^2(x - 2|x|) , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais definidas que envolvem a função valor absoluto. Vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de , representado por , é definido de duas maneiras:
  • Se , então .
  • Se , então .
Como nossa integral vai de a , que inclui o ponto onde , vamos dividir a integral em duas partes: uma de a e outra de a .

Passo 3

Vamos reescrever a integral dividindo-a nesses dois intervalos:
integral-1^2(x - 2|x|) , dx = integral-1^0(x - 2(-x)) , dx + integral0^2(x - 2x) , dx
Aqui, substituímos por na primeira integral (quando ) e por na segunda integral (quando ).

Passo 4

Vamos simplificar as expressões dentro das integrais:
Para x - 2(-x) = x + 2x = 3x :
x - 2x = -x
Para integral-1^03x , dx + integral0^2(-x) , dx :
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
integral-1^03x , dx = 3 integral-1^0x , dx = 3 [ x^22 ]-1^0 = 3 ( 0^22 - (-1)^22 ) = 3 (0 - 12) = -32
Segunda integral:
integral0^2(-x) , dx = -integral0^2x , dx = - [ x^22 ]0^2 = - ( 2^22 - 0^22 ) = - ( 42 - 0 ) = -2

Resposta

Somando os resultados das duas integrais:
-32 + (-2) = -32 - 2 = -72
Portanto, o valor da integral definida é .

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