Determine as integrais: integral x^3(1+x^4)^1 / 3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com integração por substituição, que é uma técnica que facilita a resolução de integrais mais complicadas ao mudar a variável de integração para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observamos que o denominador u = 1 + x^4 tem um , que é uma boa candidata para substituição.
Vamos definir:
Dessa forma, precisamos calcular a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = 4x^3 em relação a du = 4x^3 dx :
x^3 dx = du4
Isso significa que:
Agora, resolvemos para :
Isso nos permite reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo integral x^3(1+x^4)^1 / 3 dx = integral du4u^1/3 = 14 integral u^-1/3 du e na integral original:
Agora, a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^-1/3 du = u^2/32/3 + C = 32 u^2/3 + C . Lembrando que 14 cdot 32 u^2/3 + C = 38 u^2/3 + C , onde é a constante de integração.
Aqui, , então:
Multiplicando pelo fator que tínhamos anteriormente:

Passo 6

Agora, substituímos 38 u^2/3 + C = 38 (1 + x^4)^2/3 + C de volta em termos de :
E pronto! Essa é a forma final da integral.

Resposta

A integral 38 (1 + x^4)^2/3 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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