Considere a região
do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
. Calcule as seguintes quantidades: O volume obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
no primeiro quadrante, limitada pelas curvas
e
. O objetivo é calcular o volume que essa região gera quando é rodada ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas e usar o método dos discos ou cilindros para encontrar o volume.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde as curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas funções:
Rearranjando os termos:
Isso nos dá uma solução em
e resolvendo a equação quadrática
, encontramos
e
. Contudo, como estamos no primeiro quadrante, consideramos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos que a região
está limitada entre
e
, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) para calcular o volume. Esse método é útil quando a região é rotacionada em torno do eixo
.
A fórmula para o volume usando esse método é:
onde
é a função de cima e
é a função de baixo.
Passo 4
Identificamos que, entre
e
, a curva
está acima de
. Portanto,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos o resultado pela constante
para obter o volume:
Resposta
O volume obtido pela rotação da região
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.