Considere a região R do primeiro quadrante delimitada pelas curvas y = x^3 e y = 2*x - x^2. Calcule as seguintes quantidades: O volume obtido pela rotação de R em torno do eixo y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região R no primeiro quadrante, limitada pelas curvas e . O objetivo é calcular o volume que essa região gera quando é rodada ao redor do eixo y. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas e usar o método dos discos ou cilindros para encontrar o volume.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde as curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas funções:
Rearranjando os termos:
Isso nos dá uma solução em x = 0 e resolvendo a equação quadrática , encontramos x = 1 e . Contudo, como estamos no primeiro quadrante, consideramos x = 0 e x = 1.

Passo 3

Agora que sabemos que a região R está limitada entre x = 0 e x = 1, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) para calcular o volume. Esse método é útil quando a região é rotacionada em torno do eixo y.
A fórmula para o volume usando esse método é:
onde f(x) é a função de cima e g(x) é a função de baixo.

Passo 4

Identificamos que, entre x = 0 e x = 1, a curva está acima de . Portanto, e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o resultado pela constante para obter o volume:

Resposta

O volume obtido pela rotação da região R em torno do eixo y é unidades cúbicas.

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