Considere a região
do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
. Calcule as seguintes quantidades: O volume obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
. Nosso objetivo é calcular o volume que essa região forma quando giramos ela ao redor do eixo
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos ou das aros.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Vamos igualar
a
:
Rearranjando os termos:
Fatorando:
Resolvendo
:
Então,
e
. Como estamos no primeiro quadrante, consideramos
e
como pontos de interseção.
Passo 3
Agora, identificamos os limites de integração: de
a
.
Passo 4
Vamos utilizar o método dos discos, pois estamos girando em torno do eixo
. A fórmula para o volume
por esse método é:
Onde
é a função de cima e
a de baixo na região.
Passo 5
Identificamos qual curva está acima da outra no intervalo de integração. Para
:
- Quando
: para ambas. - Quando
: e .
Testando um valor entre:
Para
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
Agora, configuramos a integral para o volume:
Vamos expandir e simplificar dentro da integral:
Então:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 7
Avaliando a integral nos limites:
Para
:
Calculando os valores:
Somando tudo:
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume obtido pela rotação da região
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.