Considere a região R do primeiro quadrante delimitada pelas curvas y = x^3 e y = 2*x - x^2. Calcule as seguintes quantidades: O volume obtido pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região no primeiro quadrante limitada pelas curvas e . Nosso objetivo é calcular o volume que essa região forma quando giramos ela ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos ou das aros.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Vamos igualar a :
Rearranjando os termos:
Fatorando:
Resolvendo :
Então, e . Como estamos no primeiro quadrante, consideramos e como pontos de interseção.

Passo 3

Agora, identificamos os limites de integração: de a .

Passo 4

Vamos utilizar o método dos discos, pois estamos girando em torno do eixo . A fórmula para o volume por esse método é:
Onde é a função de cima e a de baixo na região.

Passo 5

Identificamos qual curva está acima da outra no intervalo de integração. Para :
  • Quando : para ambas.
  • Quando : e .
Testando um valor entre:
Para :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 6

Agora, configuramos a integral para o volume:
Vamos expandir e simplificar dentro da integral:
Então:
Agora, integramos termo a termo:

Passo 7

Avaliando a integral nos limites:
Para :
Calculando os valores:
Somando tudo:
Portanto, o volume é:

Resposta

O volume obtido pela rotação da região em torno do eixo é unidades cúbicas.

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