Considere a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas . Calcule as seguintes quantidades: O volume obtido pela rotação de em torno da reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume formado quando a região , que está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas e , é girada em torno da reta . Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente o método das cascas cilíndricas, para resolver isso. Precisaremos identificar os pontos de interseção das curvas, configurar a integral correta e calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam para determinar os limites de integração. Igualamos :
Resolvendo a equação quadrática :
Então, as soluções são e . Como estamos no primeiro quadrante, descartamos . Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora, vamos usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume. Esse método é ideal quando a rotação é em torno de uma reta vertical, como neste caso. A fórmula geral para o volume usando cascas é:
Aqui, a distância de um ponto à reta é , e a altura da casca é a diferença entre as funções superiores e inferiores na região, ou seja, .
Passo 4
Vamos montar a integral usando os limites de a :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos expandir o produto :
Simplificando os termos semelhantes:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Somando todos os resultados:
Passo 7
Multiplicando pelo :
Resposta
O volume obtido pela rotação da região R em torno da reta é aproximadamente unidades cúbicas.