Considere a região R do primeiro quadrante delimitada pelas curvas y = x^3 e y = 2*x - x^2. Calcule as seguintes quantidades: O volume obtido pela rotação de R em torno da reta x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume formado quando a região R, que está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas e , é girada em torno da reta . Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente o método das cascas cilíndricas, para resolver isso. Precisaremos identificar os pontos de interseção das curvas, configurar a integral correta e calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam para determinar os limites de integração. Igualamos :
Resolvendo a equação quadrática :
Então, as soluções são x = 1 e . Como estamos no primeiro quadrante, descartamos . Portanto, os pontos de interseção são x = 0 e x = 1.

Passo 3

Agora, vamos usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume. Esse método é ideal quando a rotação é em torno de uma reta vertical, como neste caso. A fórmula geral para o volume usando cascas é:
âàçã
Aqui, a distância de um ponto x à reta é , e a altura da casca é a diferença entre as funções superiores e inferiores na região, ou seja, .

Passo 4

Vamos montar a integral usando os limites de x = 0 a x = 1:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos expandir o produto :
Simplificando os termos semelhantes:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Somando todos os resultados:

Passo 7

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume obtido pela rotação da região R em torno da reta é aproximadamente unidades cúbicas.

Exercícios relacionados