Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
36-)\left(\frac{e}{n} \ln \left(\frac{e}{n}\right)\right)_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
a_n = \frac{e}{n}\,\ln\!\Bigl(\frac{e}{n}\Bigr),
ou seja, verificar se ela converge ou diverge quando n\to\infty. O conteúdo é limite de sequência e usaremos manipulação algébrica e o fato de que \ln(n)/n\to0.

Passo 2

Começamos simplificando o logaritmo:
\ln\!\Bigl(\tfrac{e}{n}\Bigr)=\ln(e)-\ln(n)=1-\ln(n).
Logo
a_n=\frac{e}{n}\,(1-\ln(n)) =\frac{e}{n}-\frac{e\,\ln(n)}{n}.

Passo 3

Analisamos o limite de cada parcela:
  1. \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{e}{n}=0 porque e é constante e n\to\infty.
  2. Para \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}, usamos L’Hôpital:
    considere f(x)=\frac{\ln(x)}{x}. Em x\to\infty temos forma \infty/\infty,
    derivando numerador e denominador,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =0.
Portanto
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{e\,\ln(n)}{n}=e\cdot0=0.

Passo 4

Como ambas as parcelas tendem a zero, pelo limite da soma temos
\lim_{n\to\infty}a_n =\;0\;-\;0 =\;0.
Isto mostra que a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{e}{n}\,\ln\!\Bigl(\frac{e}{n}\Bigr)=0.

Exercícios relacionados