Prove os seguintes teoremas (importantes!!):
Para soluções normalizáveis da equação de Schrödinger, a constante de separação E deve ser real. (Prove por absurdo, assumindo que E possua uma parte imaginária, e provando que a norma de \Psi só será 1 se E for real.)

Passo 1

O enunciado pede que provemos que, para soluções normalizáveis da equação de Schrödinger obtidas por separação de variáveis, a constante de separação E deve ser real.
Informações dadas e condições relevantes:
  • Temos uma solução separável da equação de Schrödinger do tipo \Psi(x,t)=\psi(x)T(t).
  • A função de onda é normalizável, o que significa que a norma (probabilidade total) é finita; normalmente exigimos que a norma seja 1:
\int |\Psi(x,t)|^{2}\,dx = 1 \quad\text{(para todo \(t\) se a probabilidade for conservada).}
  • Devemos provar por absurdo: assumir que E tem parte imaginária e mostrar que isso contradiz a normalização temporal da solução (a norma deixa de ser constante e igual a 1, salvo caso trivial).

Passo 2

Lembrando de onde vem E: começamos com a equação de Schrödinger dependente do tempo (para um Hamiltoniano independente do tempo):
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\hat{H}\Psi(x,t).
Fazendo a separação \Psi(x,t)=\psi(x)T(t) e dividindo por \psi(x)T(t) (assumindo \psi\neq 0), obtemos duas equações separadas que levam à constante de separação E:
\hat{H}\psi(x)=E\psi(x)
e
i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}=E.
Aqui explico o que cada símbolo significa:
  • \Psi(x,t) é a função de onda completa (dependente de posição x e tempo t);
  • \psi(x) é a parte espacial (autofunção do Hamiltoniano);
  • T(t) é a parte temporal;
  • \hat{H} é o operador Hamiltoniano (assumimos que é independente do tempo);
  • \hbar é a constante de Planck reduzida;
  • E é a constante de separação (por vezes interpretada como energia).

Passo 3

Integrando a equação temporal i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}=E obtemos
T(t)=C\,e^{-iEt/\hbar},
onde C é constante complexa de normalização temporal (normalmente absorvida em \psi). Portanto, a forma separada usual é
\Psi(x,t)=\psi(x)\,e^{-iEt/\hbar}.
A norma ao quadrado (densidade de probabilidade integrada) é
N(t)=\int |\Psi(x,t)|^{2}\,dx.
Queremos verificar como N(t) depende de t quando E pode ser complexo.

Passo 4

Fazer a prova por absurdo: suponha que E tenha parte imaginária não nula. Escrevemos
E=E_{r}+iE_{i},
onde \,E_{r}=\Re(E)\, e \,E_{i}=\Im(E)\,. A hipótese para absurdo é que E_{i}\neq 0.

Passo 5

Calculemos o fator temporal e seu módulo. Temos
e^{-iEt/\hbar}=e^{-i(E_{r}+iE_{i})t/\hbar}=e^{-iE_{r}t/\hbar}\,e^{E_{i}t/\hbar}.
Agora o módulo absoluto do fator temporal é dado por
\left|e^{-iEt/\hbar}\right|= \left|e^{-iE_{r}t/\hbar}\right|\left|e^{E_{i}t/\hbar}\right|.
Como \left|e^{-iE_{r}t/\hbar}\right|=1 (fator puramente de fase) e \left|e^{E_{i}t/\hbar}\right|=e^{E_{i}t/\hbar}, obtemos
\left|e^{-iEt/\hbar}\right|^{2}=e^{2E_{i}t/\hbar}.

Passo 6

Agora calculemos explicitamente a norma N(t). Usando \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar},
N(t)=\int |\Psi(x,t)|^{2}\,dx = \int |\psi(x)|^{2}\,\left|e^{-iEt/\hbar}\right|^{2}\,dx.
Como o fator temporal não depende de x, tira-se da integral:
N(t)=\left|e^{-iEt/\hbar}\right|^{2}\int |\psi(x)|^{2}\,dx = e^{2E_{i}t/\hbar}\int |\psi(x)|^{2}\,dx.
Denotando N_{0}=\int |\psi(x)|^{2}\,dx (norma espacial, positiva e finita porque \psi é normalizável e não trivial), temos
N(t)=N_{0}\,e^{2E_{i}t/\hbar}.

Passo 7

Interprete o resultado: se E_{i}\neq 0, então N(t) varia exponencialmente com o tempo:
  • Se E_{i}>0, N(t) cresce exponencialmente.
  • Se E_{i}<0, N(t) decai exponencialmente para zero quando t\to\infty.
    Em particular, a norma não é constante no tempo, logo não podemos ter uma normalização permanente \int |\Psi(x,t)|^{2}dx=1 para todos os tempos (salvo o caso trivial \psi\equiv 0, que não é uma solução física significativa). Isso contradiz a exigência física de conservação de probabilidade para uma solução física normalizável da equação de Schrödinger (para um Hamiltoniano hermitiano): a probabilidade total deve permanecer constante no tempo.

Passo 8

Da contradição obtida (norma temporal não conservada se E_{i}\neq 0), concluímos que a hipótese inicial estava errada. Logo E_{i}=0, ou seja, E não tem parte imaginária.

Resposta

\displaystyle E\in\mathbb{R}

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