( 2,5 pontos) Uma adutora interliga dois reservatórios cuja a diferença de nível é de 20 metros. Essa adutora é composta por dois trechos ligados em série, sendo o primeiro de 1500 metros de extensão e diâmetro de 12 " e outro de 500 metros de extensão e 8 " de diâmetro, ambos os trechos com coeficiente de perda de carga da fórmula universal igual a . Desconsiderando as perdas de carga localizadas, pede-se para determinar a vazão escoada. Calcular a nova vazão se for instalada paralelamente ao primeiro trecho, uma tubulação com 1800 metros de comprimento e 10 " de diâmetro com o mesmo coeficiente de perda de carga ( \mathrm{f}=0,024 ).

Passo 1

O enunciado descreve uma adutora entre dois reservatórios com diferença de nível de 20 m, composta em série por:
– trecho 1: L_1=1500 m, D_1=12''
– trecho 2: L_2=500 m, D_2=8''
O coeficiente de atrito é \,f=0,024.
Pede-se a vazão Q desprezando-se perdas localizadas. Depois, instala-se em paralelo ao trecho 1 uma tubulação de L_3=1800 m e D_3=10'' (mesmo f), e pede-se a nova vazão total.
Conteúdo: equação de energia e fórmula de Darcy–Weisbach para perdas de carga em série e em paralelo.

Passo 2

Em cada trecho, a perda de carga é
h_L \;=\;\frac{f\,L}{D}\,\frac{V^2}{2g}
e como V=Q/A e A=\pi D^2/4, define-se
h_L \;=\;k\,Q^2, \quad k \;=\;\frac{8\,f\,L}{g\,\pi^2\,D^5}.
Convertendo os diâmetros ( 1''=0,0254 m):
D_1=12''\approx0,3048\text{ m},\quad D_2=8''\approx0,2032\text{ m},\quad D_3=10''\approx0,2540\text{ m}.
Calculamos
k_1=\frac{8\cdot0,024\cdot1500}{9,81\;\pi^2\;(0,3048)^5}\approx1129{,}1, \quad k_2=\frac{8\cdot0,024\cdot500}{9,81\;\pi^2\;(0,2032)^5}\approx2877{,}0,
k_3=\frac{8\cdot0,024\cdot1800}{9,81\;\pi^2\;(0,2540)^5}\approx3382{,}0.

Passo 3

Só com os dois trechos em série vale
h_{L1}+h_{L2}=(k_1+k_2)\,Q^2=\Delta z=20\text{ m}
logo
Q=\sqrt{\frac{20}{k_1+k_2}} =\sqrt{\frac{20}{1129{,}1+2877{,}0}} \approx0,0706\\ \text{m}^3\!/s.

Passo 4

Com a terceira tubulação em paralelo ao trecho 1, chamemos Q_1 o fluxo em D_1 e Q_3 em D_3. Como a perda em cada ramo paralelo é a mesma,
k_1\,Q_1^2=k_3\,Q_3^2 \;\Rightarrow\; Q_3=\sqrt{\frac{k_1}{k_3}}\,Q_1.
A vazão total até o nó de junção é
Q_{p}=Q_1+Q_3 =Q_1\Bigl(1+\sqrt{\tfrac{k_1}{k_3}}\Bigr) =Q_1\,(1+\alpha), \quad \alpha=\sqrt{\tfrac{k_1}{k_3}}\approx0,5778.
A perda de carga no paralelo é
h_{par}=k_1\,Q_1^2 =\;k_1\;\frac{Q_{p}^2}{(1+\alpha)^2}
e segue em série o trecho 2 com h_{L2}=k_2\,Q_{p}^2. Assim
h_{par}+h_{L2} =\;Q_{p}^2\Bigl(\tfrac{k_1}{(1+\alpha)^2}+k_2\Bigr) =20 \;\Rightarrow\; Q_{p} =\sqrt{\frac{20}{\tfrac{k_1}{(1+\alpha)^2}+k_2}}.

Passo 5

Numericamente,
1+\alpha=1{,}5778,\quad \frac{k_1}{(1+\alpha)^2}=\frac{1129{,}1}{2{,}490}\approx453{,}5,
Q_{p} =\sqrt{\frac{20}{453{,}5+2877{,}0}} =\sqrt{\frac{20}{3330{,}5}} \approx0,0775\\ \text{m}^3\!/s.

Resposta

A vazão com os dois trechos em série é
\boxed{Q\approx0,0706\\ \text{m}^3\!/s.}
Com a tubulação paralela ao primeiro trecho, a vazão aumenta para
\boxed{Q\approx0,0775\\ \text{m}^3\!/s.}

Exercícios relacionados