Suponha que um alto-falante emite um som de forma isotrópica e está a 50 m de um ouvinte. Se o nível sonoro na posição do ouvinte é \beta=100 \mathrm{~dB}, qual a potência do autofalante?

Passo 1

O enunciado diz que um alto-falante irradia som de forma isotrópica e, a uma distância r=50\\ \mathrm{m}, o nível sonoro é \beta=100\\ \mathrm{dB}. Para resolver, vamos usar duas coisas:
  1. A definição de nível sonoro
\beta = 10 \log_{10}\bigl(I/I_{0}\bigr),
em que I é a intensidade sonora e I_{0}=10^{-12}\,\mathrm{W/m^2} é a referência.
2. A relação entre potência e intensidade para radiação isotrópica
I = \frac{P}{4\pi r^2},
em que P é a potência total do alto-falante.

Passo 2

Aplicando a definição de nível sonoro, isolamos I:
I = I_{0}\,10^{\beta/10}.
Substituindo I_{0}=10^{-12}\,\mathrm{W/m^2} e \beta=100\\ \mathrm{dB}, vem
I = 10^{-12}\times10^{100/10} = 10^{-12}\times10^{10} = 10^{-2}\,\mathrm{W/m^2}.

Passo 3

Agora relacionamos essa intensidade com a potência P do alto-falante:
P = I\cdot4\pi r^2.
Com I=10^{-2}\,\mathrm{W/m^2} e r=50\\ \mathrm{m}, temos
4\pi r^2 = 4\pi(50)^2 = 4\pi\cdot2500 = 10000\pi\\ \mathrm{m^2},
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P = 10^{-2}\times10000\pi = 100\pi\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Fazendo a avaliação numérica,
100\pi\approx3{,}14\times10^{2}\\ \mathrm{W}.

Resposta

A potência do alto-falante é aproximadamente
P \approx 3{,}14\times10^{2}\\ \mathrm{W}.

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