Considere a relação alpha x+beta x^2 sen x+gamma cos x=0, com alpha, beta, gamma in R. Atribuindo a x os valores 0, pi / 2 e pi, obtemos as equações lgamma=0 pi2 alpha+pi^24 beta=0 pi alpha-gamma=0.
(ii) O conjunto B=x, x^2 sen(x), cos (x) é linearmente dependente em C(R) ?

Passo 1

Queremos testar se o conjunto de funções
B=f1(x)=x,;f2(x)=x^2sin x,;f3(x)=cos x
é linearmente dependente em C(R).
Pela definição, fazemos a combinação linear
alpha,x+beta,x^2sin x+gamma,cos x=0forall xinR,
e buscamos valores alpha,beta,gamma que satisfaçam isso. Se a única solução for alpha=beta=gamma=0, o conjunto é linearmente independente.

Passo 2

Avalia em x=0. Como sin0=0 e cos0=1, a combinação fica
alphacdot0+betacdot0^2sin0+gammacdot1=0 Longrightarrow gamma=0

Passo 3

Avalia em x=pi. Sabendo sinpi=0 e cospi=-1, obtemos
alpha,pi+beta,pi^2cdot0+gammacdot(-1)=0 Longrightarrow pialpha-gamma=0
Como já vimos gamma=0, segue alpha=0.

Passo 4

Avalia em x=tfracpi2. Aqui sin(tfracpi2)=1 e cos(tfracpi2)=0, então
alphacdotpi2+betacdotl(pi2r)^2cdot1+gammacdot0=0 Longrightarrow pi2,alpha+pi^24,beta=0
Com alpha=0, segue pi^24beta=0 e, portanto, beta=0.

Resposta

Não. O conjunto B é linearmente independente em C(R).

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