Verificar se as matrizes: E1=(ll 1 & 2 0 & 3 ), E2=(cc 2 & 0 -1 & 3 ), E3=(cc 1 & 1 2 & -1 ) e E4=(ll 2 & 0 0 & 2 ) constituem uma base para M2 times 2 Passo 1O enunciado pede para verificar se as matrizes E1=1&20&3, E2=2&0-1&3, E3=1&12&-1, E4=2&00&2 formam uma base de M2times2. O espaço M2times2 tem dimensão 4, então uma coleção de 4 elementos forma base exatamente se for linearmente independente (equivalente a ter posto 4). Passo 2Vamos vetorizar cada Ei na ordem (a11,a12,a21,a22). vec E1=(1,2,0,3), vec E2=(2,0,-1,3), vec E3=(1,1,2,-1), vec E4=(2,0,0,2) Colocamos esses vetores como colunas de uma matriz Ain R^4times4: A= 1 & 2 & 1 & 2 2 & 0 & 1 & 0 0 & -1& 2 & 0 3 & 3 & -1& 2 Passo 3Fazemos eliminação de Gauss em A: 1 & 2 & 1 & 2 2 & 0 & 1 & 0 0 & -1& 2 & 0 3 & 3 & -1& 2 xrightarrowR2-2R1,;R4-3R1 1 & 2 & 1 & 2 0 & -4 & -1 & -4 0 & -1 & 2 & 0 0 & -3 & -4 & -4 Em seguida, eliminamos abaixo do pivô -4 na coluna 2: xrightarrowR3-tfrac-1-4R2,;R4-tfrac-3-4R2 1 & 2 & 1 & 2 0 & -4 & -1 & -4 0 & 0 & tfrac94& 1 0 & 0 & -tfrac134& -1 Por fim, eliminamos abaixo do pivô tfrac94 na coluna 3: xrightarrowR4-l(tfrac-13/49/4r)R3 1 & 2 & 1 & 2 0 & -4& -1& -4 0 & 0 & tfrac94& 1 0 & 0 & 0 & tfrac49 Todos os pivôs são não nulos: 1,,-4,,9/4,,4/9. Passo 4O determinante de A é o produto dos pivôs: det(A)=1cdot(-4)cdottfrac94cdottfrac49=-4neq0 Como det(A)neq0, as colunas de A são linearmente independentes. RespostaSim, E1,E2,E3,E4 é uma base de M2times2. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSejam v1, v2, v3 os vetores-linha e w1, w2, w3 os vetores-coluna da matriz [lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9]. (ii) Exprima w1 e w2 como combinações lineares de v1 e v2 e vice-versa. Verificar se os polinômios: P0(x)=1, P1(x)=x e P2(x)=x^2-13 >=ram K2(x) NOTE: Deveremos mostrar que [P0(x), P1(x), P2(x)] subset K2(x) e que K2(x) subset[P0(x), P1(x), P2(x)] a) É fácil ver que: [P0(x), P1(x), P2(x)] subset k2(x), pois todos são polinômios de grau menor ou igual a 2. b) Para mostrar que K2(x) subset[P0(x), P1(x), P2(x)], devemos mostrar que qualquer polinônio Q(x) in K2(x) se escreve como combinação linear de P0(x), P1(x) e P2(x). De fato, seja Q2(x)=a0+a1 x+a2 x^2 um elemento genérico de K2(x). Então: a0+a1 x+a2 x^2=alpha0 P0(x)+alpha1 P1(x)+alpha2 P2(x) Considere a relação alpha x+beta x^2 sen x+gamma cos x=0, com alpha, beta, gamma in R. Atribuindo a x os valores 0, pi / 2 e pi, obtemos as equações lgamma=0 pi2 alpha+pi^24 beta=0 pi alpha-gamma=0. (ii) O conjunto B=x, x^2 sen(x), cos (x) é linearmente dependente em C(R) ? Mostre que o conjunto B=(1,0),(3,4) subset R^2 é uma base para R^2.