Verificar se as matrizes:
E1=(ll 1 & 2 0 & 3 ), E2=(cc 2 & 0 -1 & 3 ), E3=(cc 1 & 1 2 & -1 ) e E4=(ll 2 & 0 0 & 2 )
constituem uma base para M2 times 2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
E1=1&20&3, E2=2&0-1&3, E3=1&12&-1, E4=2&00&2
formam uma base de M2times2. O espaço M2times2 tem dimensão 4, então uma coleção de 4 elementos forma base exatamente se for linearmente independente (equivalente a ter posto 4).

Passo 2

Vamos vetorizar cada Ei na ordem (a11,a12,a21,a22).
vec E1=(1,2,0,3), vec E2=(2,0,-1,3), vec E3=(1,1,2,-1), vec E4=(2,0,0,2)
Colocamos esses vetores como colunas de uma matriz Ain R^4times4:
A= 1 & 2 & 1 & 2 2 & 0 & 1 & 0 0 & -1& 2 & 0 3 & 3 & -1& 2

Passo 3

Fazemos eliminação de Gauss em A:
1 & 2 & 1 & 2 2 & 0 & 1 & 0 0 & -1& 2 & 0 3 & 3 & -1& 2 xrightarrowR2-2R1,;R4-3R1 1 & 2 & 1 & 2 0 & -4 & -1 & -4 0 & -1 & 2 & 0 0 & -3 & -4 & -4
Em seguida, eliminamos abaixo do pivô -4 na coluna 2:
xrightarrowR3-tfrac-1-4R2,;R4-tfrac-3-4R2 1 & 2 & 1 & 2 0 & -4 & -1 & -4 0 & 0 & tfrac94& 1 0 & 0 & -tfrac134& -1
Por fim, eliminamos abaixo do pivô tfrac94 na coluna 3:
xrightarrowR4-l(tfrac-13/49/4r)R3 1 & 2 & 1 & 2 0 & -4& -1& -4 0 & 0 & tfrac94& 1 0 & 0 & 0 & tfrac49
Todos os pivôs são não nulos: 1,,-4,,9/4,,4/9.

Passo 4

O determinante de A é o produto dos pivôs:
det(A)=1cdot(-4)cdottfrac94cdottfrac49=-4neq0
Como det(A)neq0, as colunas de A são linearmente independentes.

Resposta

Sim, E1,E2,E3,E4 é uma base de M2times2.

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