Sejam v1, v2, v3 os vetores-linha e w1, w2, w3 os vetores-coluna da matriz [lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9].
(ii) Exprima w1 e w2 como combinações lineares de v1 e v2 e vice-versa.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
cujos vetores-linha são
v1=(1,2,3), v2=(4,5,6), v3=(7,8,9)
e vetores-coluna são
w1=(1,4,7)^T, w2=(2,5,8)^T, w3=(3,6,9)^T
Como v1,v2 e w1,w2 são bases (dimensão 2) dos espaços linha e coluna, basta resolver sistemas em R^3 para escrever
,w1,w2 em função de v1,v2 e vice-versa.

Passo 2

Queremos
Em coordenadas:
Isto gera o sistema
Das duas primeiras equações vem Verificamos na terceira equação e bate, então

Passo 3

De modo análogo, escrevemos
gamma,v1+de<a,v2=w2,
isto é,
gamma+4de<a=2, 2gamma+5de<a=5
Da primeira gamma=2-4de<a. Substituindo na segunda:
2(2-4de<a)+5de<a=5;Longrightarrow;-3de<a=1;Longrightarrow;de<a=-tfrac13,
e então gamma=2-4(-tfrac13)=2+tfrac43=tfrac103 Confere na terceira equação e assim
w2=tfrac103v1-tfrac13v2

Passo 4

Agora expressamos
isto é,
Do sistema
vem Assim

Passo 5

Por fim, para v2=r,w1+s,w2 resolvemos
r+2s=4, 4r+5s=5
Da primeira r=4-2s. Substituindo na segunda:
4(4-2s)+5s=5;Longrightarrow;-3s=-11;Longrightarrow;s=tfrac113,
e assim r=4-2cdottfrac113=-tfrac103 Portanto
v2=-tfrac103w1+tfrac113w2

Resposta

w1=tfrac113v1-tfrac23v2,
w2=tfrac103v1-tfrac13v2;
v1=-tfrac13w1+tfrac23w2,
v2=-tfrac103w1+tfrac113w2

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