Mostre que o conjunto A=(1,0,0),(0,1,0),(3,4,0) subset R^3 não é uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
A = (1,0,0), (0,1,0), (3,4,0)subsetR^3
não é uma base de R^3.
Para isso precisamos lembrar que um conjunto é base se, e somente se, ele gera todo o espaço (span igual a R^3) e é linearmente independente.

Passo 2

Vamos testar a independência linear, procurando escalares a,b,c tais que
a,(1,0,0)+b,(0,1,0)+c,(3,4,0)=(0,0,0)
Comparando componente a componente, obtemos o sistema
a + 3c = 0, b + 4c = 0, 0 = 0

Passo 3

Das duas primeiras equações segue
a = -3c, b = -4c,
e a terceira é trivial. Logo, para cneq 0 temos solução não trivial (a,b,c)=(-3,-4,1). Isso mostra que os vetores de A são linearmente dependentes.

Passo 4

Como há dependência linear em A, não se satisfaz a condição de independência necessária para ser base. Alternativamente, percebe-se que todo vetor do span de A tem terceira coordenada zero, ou seja, span(A) é o plano z=0 (dimensão 2) e não todo R^3.

Resposta

O conjunto A não é uma base de R^3.

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