Mostre que o conjunto B=(1,0),(3,4) subset R^2 é uma base para R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto B=(1,0),(3,4)subsetR^2 é uma base de R^2. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que (i) é linearmente independente e (ii) gera (ou seja, faz o span) de todo o espaço. Como dimR^2=2, basta provar que esses dois vetores são linearmente independentes e que qualquer vetor de R^2 se escreve como combinação linear deles.

Passo 2

Mostramos a independência linear. Suponha que existam escalares
Isso dá o sistema de componentes
Da segunda equação vem . Logo, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial, e assim é linearmente independente.

Passo 3

Agora mostramos que
Isso equivale ao sistema
Da segunda equação segue encontramos e que geram como combinação linear de e . Assim, gera .

Passo 4

Concluímos que B satisfaz as duas condições de base: é linearmente independente e gera R^2. Portanto, B é uma base de R^2.

Resposta

O conjunto B=(1,0),(3,4) é uma base de R^2.

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