Considere a relação de de Broglie para uma partícula relativística e mostre que o comprimento de onda e a energia cinética
estão relacionados por:
. Mostre que esta fórmula implica em
para
e
para
Passo 1
Beleza, aqui a gente quer usar a ideia de de Broglie num caso relativístico para encontrar um λ em função da energia cinética
. O assunto é “dualidade onda-partícula” e “relação energia-momentum relativística”. Para resolver, vamos precisar de:
- a relação de Broglie
, - a relação relativística entre energia total
, momento e massa de repouso :
- e o fato de que
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
em função do momento:
Mas em relatividade a gente não tem
tão fácil; o jeito mais direto é usar
Como
, substituímos:
Logo
Daí
Passo 3
Agora vamos ver o caso
. Quando
é muito maior que
, a soma
. Então dentro da raiz
logo
Passo 4
Para
, o termo
domina na soma
. Então
e assim
Resposta
Derivamos a relação completa
com os limites