Considere a relação de de Broglie para uma partícula relativística e mostre que o comprimento de onda e a energia cinética (Ec) estão relacionados por: lambda=h craizEc(Ec+2 mo c^2). Mostre que esta fórmula implica em lambda=h cEc para Ec gg mo c^2 e lambda=hraiz2 mo Ec para Ec ll mo c^2

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer usar a ideia de de Broglie num caso relativístico para encontrar um λ em função da energia cinética E^2 = p^2c^2 + m0^2c^4, . O assunto é “dualidade onda-partícula” e “relação energia-momentum relativística”. Para resolver, vamos precisar de:
  1. a relação de Broglie ,
  2. a relação relativística entre energia total , momento e massa de repouso :
  1. e o fato de que .

Passo 2

Primeiro, escrevemos lambda = hp em função do momento:
p,c = raizE^2-m0^2c^4
Mas em relatividade a gente não tem p,c = raizl(Ec+m0c^2r)^2 - m0^2c^4 = raizEc^2 + 2Ec,m0c^2 tão fácil; o jeito mais direto é usar
p = 1craizEc^2 + 2Ec,m0c^2
Como lambda = hp = h,craizEc^2 + 2,m0c^2,Ec = h,craizEcl(Ec+2m0c^2r) , substituímos:
Logo
Daí

Passo 3

Agora vamos ver o caso Ecl(Ec+2m0c^2r)approx Ec^2, . Quando lambda approx h,craizEc^2 = h,cEc é muito maior que , a soma . Então dentro da raiz
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Passo 4

Para Ecl(Ec+2m0c^2r) approx Eccdot 2m0c^2 =2m0c^2Ec, , o termo lambda approx h,craiz2m0c^2Ec = hraiz2m0Ec domina na soma . Então
e assim

Resposta

Derivamos a relação completa
boxedlambda = h,craizEc,l(Ec+2m0c^2r),
com os limites
lambda;approx;h,cEcpara Ecgg m0c^2, lambda;approx;hraiz2m0Ecpara Ecll m0c^2

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