Considere em N a relação R definida por: x R y se existe n in N tal que y=n x.
Seja X:=2,3,5,6,10,15,18 subseteq N ordenado pela relação R acima. Determine ou justifique a não existência de:
Cotas superior e inferior para X.

Passo 1

O conjunto X=2,3,5,6,10,15,18 vive em (N,R) onde
xRyLong<=ftrightarrow x divide y
Cota inferior de X são os elementos de N que dividem todos os elementos de X; cota superior de X são os elementos de N que são múltiplos de todos os elementos de X.

Passo 2

Para achar as cotas inferiores buscamos os divisores comuns de todos os xin X. Fazendo a fatoração:
2=2,; 3=3,; 5=5,; 6=2cdot3,; 10=2cdot5,; 15=3cdot5,; 18=2cdot3^2,
vemos que o único divisor comum é 1. Portanto o conjunto de cotas inferiores é
,dinNmid dmid x;forall xin X =1

Passo 3

Para achar as cotas superiores buscamos os múltiplos comuns de todos os xin X. O mínimo múltiplo comum (mmc) de 2,3,5,6,10,15,18 toma o maior expoente de cada primo:
mmc=2^1cdot3^2cdot5^1=90
Logo o conjunto de cotas superiores é
,minNmid xmid m;forall xin X =90k mid kinN

Resposta

Cotas inferiores de X: 1.
Cotas superiores de X: 90k: kinN.

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