Considere em
a relação
definida por:
se existe
tal que
.
Seja
ordenado pela relação
acima. Determine ou justifique a não existência de:
Menor e maior elementos de
.
Seja
Menor e maior elementos de
Passo 1
O conjunto é
com a relação
se e só se existe
tal que
. Note que isso é exatamente a ordem de divisibilidade em
. Queremos ver se em
existe um elemento mínimo (que divide todos os outros) e um elemento máximo (que é múltiplo de todos os outros).
Passo 2
Para haver um menor elemento
deveríamos ter
para todo
, isto é,
divide cada elemento de
. O maior divisor comum de todos os elementos de
é
Mas
. Logo não há nenhum
que divida todos os elementos de
. Concluímos que não existe menor elemento em
.
Passo 3
Para haver um maior elemento
deveríamos ter
para todo
, isto é,
é múltiplo de cada elemento de
. O mínimo múltiplo comum de todos os elementos de
é
Porém
. Logo não há
que seja múltiplo de todos os outros. Concluímos que não existe maior elemento em
.
Resposta
Não existe nem menor elemento nem maior elemento em
.