Considere em N a relação R definida por: x R y se existe n in N tal que y=n x.
Seja X:=2,3,5,6,10,15,18 subseteq N ordenado pela relação R acima. Determine ou justifique a não existência de:
Menor e maior elementos de X.

Passo 1

O conjunto é X=2,3,5,6,10,15,18 com a relação xRy se e só se existe ninN tal que y = n,x. Note que isso é exatamente a ordem de divisibilidade em N. Queremos ver se em X existe um elemento mínimo (que divide todos os outros) e um elemento máximo (que é múltiplo de todos os outros).

Passo 2

Para haver um menor elemento min X deveríamos ter mRx para todo xin X, isto é, m divide cada elemento de X. O maior divisor comum de todos os elementos de X é
gcd(2,3,5,6,10,15,18) = 1
Mas 1notin X. Logo não há nenhum min X que divida todos os elementos de X. Concluímos que não existe menor elemento em X.

Passo 3

Para haver um maior elemento Min X deveríamos ter xRM para todo xin X, isto é, M é múltiplo de cada elemento de X. O mínimo múltiplo comum de todos os elementos de X é
lcm(2,3,5,6,10,15,18) = 90
Porém 90notin X. Logo não há Min X que seja múltiplo de todos os outros. Concluímos que não existe maior elemento em X.

Resposta

Não existe nem menor elemento nem maior elemento em X.

Exercícios relacionados