Sejam U=(0,2023,2024) e V=(1,0,0). Calcule o ângulo entre os vetores U e V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o ângulo entre os vetores U = (0, 2023, 2024) e V = (1, 0, 0). Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e normas de vetores, que são fundamentais em álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o produto escalar entre U e V. O produto escalar de dois vetores A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) é dado por:
A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos vetores U e V:
U cdot V = 0 times 1 + 2023 times 0 + 2024 times 0 = 0
Então, o produto escalar é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas (ou módulos) dos vetores U e V. A norma de um vetor A = (a1, a2, a3) é calculada por:
||A|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Para U:
||U|| = raiz0^2 + 2023^2 + 2024^2 = raiz0 + 4,092,529 + 4,096,576 = raiz8,189,105 approx 2857,37
Para V:
||V|| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 = 1

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores calculados, podemos usar a fórmula que relaciona esses valores com o ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = U cdot V||U|| , ||V||
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 02857,37 times 1 = 0

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, precisamos calcular o arco cosseno de 0:
theta = arccos(0) = 90^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores U e V é de 90^circ.

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