Considere a relação sobre
dada por
se, e somente se,
é semelhante a
. Prove que
é uma relação de equivalência.
Passo 1
O enunciado define em
a relação “
” por
Para mostrar que “
” é uma relação de equivalência, precisamos verificar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificação da reflexividade. Seja
. Como a matriz identidade
é inversível e satisfaz
concluímos que
. Logo, “
” é reflexiva.
Passo 3
Verificação da simetria. Suponha que
. Então existe
inversível tal que
Multiplicando à esquerda por
e à direita por
, obtemos
ou seja,
. Logo, “
” é simétrica.
Passo 4
Verificação da transitividade. Suponha
e
. Então existem matrizes inversíveis
e
tais que
Substituindo a segunda na primeira:
Como o produto de matrizes inversíveis
também é inversível, segue
. Logo, “
” é transitiva.
Resposta
A relação de similaridade em
é reflexiva, simétrica e transitiva; portanto, é uma relação de equivalência.