Considere a relação sobre Mn, n(R) dada por A sim B se, e somente se, A é semelhante a B. Prove que sim é uma relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado define em Mn,n(R) a relação “ sim” por
A sim B se, e só se, existe matriz inversível P tal que A = P,B,P^-1 óí
Para mostrar que “ sim” é uma relação de equivalência, precisamos verificar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificação da reflexividade. Seja Ain Mn,n(R). Como a matriz identidade I é inversível e satisfaz
A = I,A,I^-1,
concluímos que Asim A. Logo, “ sim” é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria. Suponha que Asim B. Então existe P inversível tal que
A = P,B,P^-1
Multiplicando à esquerda por P^-1 e à direita por P, obtemos
B = P^-1,A,P,
ou seja, Bsim A. Logo, “ sim” é simétrica.

Passo 4

Verificação da transitividade. Suponha Asim B e Bsim C. Então existem matrizes inversíveis P e Q tais que
A = P,B,P^-1, B = Q,C,Q^-1
Substituindo a segunda na primeira:
A = P,(Q,C,Q^-1),P^-1 = (P,Q),C,(P,Q)^-1
Como o produto de matrizes inversíveis P,Q também é inversível, segue Asim C. Logo, “ sim” é transitiva.

Resposta

A relação de similaridade em Mn,n(R) é reflexiva, simétrica e transitiva; portanto, é uma relação de equivalência.

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