Decida se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira. No caso se ser verdadeira, dê uma prova e no caso de ser falsa, dê um contraexemplo com uma matriz
.
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, onde
é o espaço gerado pelas linhas de
(row space) e
é o espaço gerado pelas colunas de
(column space):
“Se , então
.”
Vamos usar a ideia de encontrar uma matriz que tenha row space e column space iguais, mas que não seja simétrica.
“Se
Vamos usar a ideia de encontrar uma matriz
Passo 2
Considere
As linhas de
são
e
, cuja combinação linear gera todo
. Logo
As colunas de
são
e
, que também geram
. Assim
Portanto
. No entanto,
ou seja,
não é simétrica.]
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
pois
mas
.]