Decida se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira. No caso se ser verdadeira, dê uma prova e no caso de ser falsa, dê um contraexemplo com uma matriz 2 times 2.
Se Lin(A)=Col(A), então A=A^t.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, onde
Lin(A) é o espaço gerado pelas linhas de A (row space) e
Col(A) é o espaço gerado pelas colunas de A (column space):
“Se Lin(A)=Col(A), então A=A^t.”
Vamos usar a ideia de encontrar uma matriz 2times2 que tenha row space e column space iguais, mas que não seja simétrica.

Passo 2

Considere
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 1
As linhas de A são (1,1) e (0,1), cuja combinação linear gera todo R^2. Logo
Lin(A)=R^2
As colunas de A são 10 e 11, que também geram R^2. Assim
Col(A)=R^2
Portanto Lin(A)=Col(A). No entanto,
A^t=1 & 0 [3pt] 1 & 1 neq 1 & 1 [3pt] 0 & 1=A,
ou seja, A não é simétrica.]

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 1,
pois Lin(A)=Col(A)=R^2 mas Aneq A^t.]

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