Decida se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira. No caso se ser verdadeira, dê uma prova e no caso de ser falsa, dê um contraexemplo com uma matriz
.
Para toda matriz
.
Para toda matriz
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Aqui
denota o subespaço de
gerado pelas colunas de
. Vamos usar o fato de que multiplicar vetores geradores por
não altera o subespaço gerado.
Passo 2
Mostramos primeiro
. Seja
. Então existem escalares
tais que
onde
é a
-ésima coluna de
. Como a
-ésima coluna de
é
, temos
logo
.
Passo 3
De modo análogo, para mostrar
, seja
. Então
o que implica
.
Passo 4
Concluímos que
logo
Resposta
A afirmação é verdadeira.