Decida se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira. No caso se ser verdadeira, dê uma prova e no caso de ser falsa, dê um contraexemplo com uma matriz 2 times 2.
Para toda matriz m times n A, Lin(A)=Lin(-A).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação
Para toda matriz (mtimes n) A,;Lin(A)=Lin(-A)
é verdadeira ou falsa. Aqui Lin(A) denota o subespaço de K^m gerado pelas colunas de A. Vamos usar o fato de que multiplicar vetores geradores por -1 não altera o subespaço gerado.

Passo 2

Mostramos primeiro Lin(A)subseteqLin(-A). Seja xinLin(A). Então existem escalares v1,dots,vninK tais que
x = v1,a1 + v2,a2 + cdots + vn,an,
onde aj é a j-ésima coluna de A. Como a j-ésima coluna de -A é -aj, temos
x = v1,a1 + cdots + vn,an = (-v1),(-a1) + cdots + (-vn),(-an),
logo xinLin(-A).

Passo 3

De modo análogo, para mostrar Lin(-A)subseteqLin(A), seja yinLin(-A). Então
y = w1,( -a1) + cdots + wn,( -an) = (-w1),a1 + cdots + (-wn),an,
o que implica yinLin(A).

Passo 4

Concluímos que
Lin(A)subseteqLin(-A) e Lin(-A)subseteqLin(A),
logo
Lin(A)=Lin(-A)

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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