(2,0) Seja A=1,2,3,4,5. Classifique as relações, R subset A^2, abaixo, (isto é, conclua se são reflexivas, antirreflexivas, simétricas, antissimétricas e/ou transitivas)
R=(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
A=1,2,3,4,5
e a relação
R=(1,2),(2,3),(3,4),(4,5).
Precisamos verificar as seguintes propriedades:
– Reflexiva: forall xin A,;(x,x)in R.
– Antirreflexiva (irreflexiva): forall xin A,;(x,x)notin R.
– Simétrica: forall x,yin A,;(x,y)in Rimplies (y,x)in R.
– Antissimétrica: forall x,yin A,;(x,y)in R e (y,x)in Rimplies x=y.
– Transitiva: forall x,y,zin A,;(x,y)in R e (y,z)in Rimplies (x,z)in R.

Passo 2

Verificando reflexividade e antirreflexividade:
Em R não aparece nenhum par da forma (x,x) para xin A.
Logo, não é reflexiva, pois faltam (1,1),(2,2),dots.
Por outro lado, como de fato forall xin A,;(x,x)notin R, ela é antirreflexiva.

Passo 3

Verificando simetria e antissimetria:
Para ser simétrica, cada (a,b)in R exigiria (b,a)in R. Mas, por exemplo, (1,2)in R e (2,1)notin R. Logo não é simétrica.
Para ser antissimétrica, sempre que (a,b)in R e (b,a)in R precisaria a=b. Aqui não existe nenhum par distinto (a,b) e (b,a) simultaneamente em R, então a condição vale de modo vacuamente verdadeiro. Portanto, R é antissimétrica.

Passo 4

Verificando transitividade:
Temos (1,2)in R e (2,3)in R, mas (1,3)notin R. Isso já quebra a transitividade. Logo, R não é transitiva.

Resposta

– Reflexiva: não
– Antirreflexiva: sim
– Simétrica: não
– Antissimétrica: sim
– Transitiva: não

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