(2,0) Seja
. Classifique as relações,
, abaixo, (isto é, conclua se são reflexivas, antirreflexivas, simétricas, antissimétricas e/ou transitivas)
,
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e a relação
.
Precisamos verificar as seguintes propriedades:
– Reflexiva: .
– Antirreflexiva (irreflexiva): .
– Simétrica: .
– Antissimétrica: e
.
– Transitiva: e
.
e a relação
Precisamos verificar as seguintes propriedades:
– Reflexiva:
– Antirreflexiva (irreflexiva):
– Simétrica:
– Antissimétrica:
– Transitiva:
Passo 2
Verificando reflexividade e antirreflexividade:
Em não aparece nenhum par da forma
para
.
Logo, não é reflexiva, pois faltam .
Por outro lado, como de fato , ela é antirreflexiva.
Em
Logo, não é reflexiva, pois faltam
Por outro lado, como de fato
Passo 3
Verificando simetria e antissimetria:
Para ser simétrica, cada exigiria
. Mas, por exemplo,
e
. Logo não é simétrica.
Para ser antissimétrica, sempre que e
precisaria
. Aqui não existe nenhum par distinto
e
simultaneamente em
, então a condição vale de modo vacuamente verdadeiro. Portanto,
é antissimétrica.
Para ser simétrica, cada
Para ser antissimétrica, sempre que
Passo 4
Verificando transitividade:
Temos e
, mas
. Isso já quebra a transitividade. Logo,
não é transitiva.
Temos
Resposta
– Reflexiva: não
– Antirreflexiva: sim
– Simétrica: não
– Antissimétrica: sim
– Transitiva: não
– Antirreflexiva: sim
– Simétrica: não
– Antissimétrica: sim
– Transitiva: não