Considere que x represente um algarismo, na base 10, em cada um dos três números 11 x , 1 x 1 e x 11 . Se a soma desses números for igual a 777, então, o valor de x é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

Passo 1

O enunciado dá três números escritos com um algarismo desconhecido x:
  • o número 11x;
  • o número 1x1;
  • o número x11.
Também diz que a soma desses três números é igual a 777. A pergunta é: qual é o valor de x, sabendo que x é um algarismo na base 10 (ou seja, um inteiro entre 0 e 9)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos três números formados por dígitos, portanto podemos usar a decomposição em centenas, dezenas e unidades.
  • A soma dos três números é \,777.
  • Precisamos encontrar x tal que a soma seja satisfeita.

Passo 2

Entender a decomposição decimal: qualquer número de três dígitos abc vale \,100\cdot a + 10\cdot b + 1\cdot c. Vou aplicar isso aos três números dados:
  • Para 11x: o dígito das centenas é 1, das dezenas é 1 e das unidades é x. Logo
11x = 100\cdot 1 + 10\cdot 1 + x = 110 + x.
  • Para 1x1: centenas 1, dezenas x, unidades 1. Logo
1x1 = 100\cdot 1 + 10\cdot x + 1 = 101 + 10x.
  • Para x11: centenas x, dezenas 1, unidades 1. Logo
x11 = 100\cdot x + 10\cdot 1 + 1 = 100x + 11.
Aqui expliquei o que significa cada termo: o coeficiente de 100 corresponde ao dígito das centenas, de 10 ao das dezenas e de 1 às unidades.

Passo 3

Agora escrevo a equação da soma, substituindo as decomposições:
(110 + x) + (101 + 10x) + (100x + 11) = 777.
Agrupando termos semelhantes (constantes e coeficientes de x):
  • Somando as constantes: 110 + 101 + 11 = 222.
  • Somando os coeficientes de x: x + 10x + 100x = 111x.
Portanto a equação simplificada é
111x + 222 = 777.

Passo 4

Resolver a equação para x. Primeiro subtraio 222 dos dois lados:
111x = 777 - 222 = 555.
Agora divido por 111:
x = \frac{555}{111}.
Como 111 \times 5 = 555, segue que
x = 5.

Passo 5

Verificação — é sempre bom checar rapidamente na prova. Substituindo x=5 nos três números:
  • 11x = 115,
  • 1x1 = 151,
  • x11 = 511.
Somando:
115 + 151 + 511 = (115+151)=266,\quad 266+511=777.
A soma confirma 777, logo x=5 está correta.
Dica rápida alternativa (método por colunas, útil em prova): somando pelas unidades, x + 1 + 1 deve dar unidade 7; isso já dá x+2 \equiv 7 \pmod{10} e, sem necessidade de carga complicada, deduz-se x=5. Sempre cheque as centenas/tens para confirmar que o transporte (carry) bate, como fiz acima.

Resposta

5

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